《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例12已知f(x)=x5+$\frac{a}{x3}$+bx−8,
且f(−2)=10,则f(2)= (A)

A.−26
B.−18
C.−10
D.10

答案： A

例13(1)已知y=f(x)是定义在R
上的奇函数,当x＞0时,f(x)=
−$\frac{x}{1+x}$.求f(0),f(−1)的值,并
写出f(x)的解析式.
(2)函数f(x)与g(x)的定义域是{x|x≠±1),
f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+
g(x)=$\frac{1}{x−1}$,求f(x)和g(x)的解析式.

答案：
(1)因为$y = f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(0)=0$。
当$x＞0$时，$f(x)=-\frac{x}{1 + x}$，则$f(1)=-\frac{1}{1+1}=-\frac{1}{2}$，又因为奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，所以$f(-1)=-f(1)=\frac{1}{2}$。
当$x＜0$时，$-x＞0$，则$f(-x)=-\frac{-x}{1+(-x)}=\frac{x}{1 - x}$，因为$f(x)$是奇函数，所以$f(x)=-f(-x)=-\frac{x}{1 - x}$。
综上，$f(x)=\begin{cases}-\frac{x}{1 - x},&x＜0\\0,&x = 0\\-\frac{x}{1 + x},&x＞0\end{cases}$。
(2)已知$f(x)+g(x)=\frac{1}{x - 1}$ ①。
因为$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，所以$f(-x)=f(x)$，$g(-x)=-g(x)$。
将$x$替换为$-x$，得$f(-x)+g(-x)=\frac{1}{-x - 1}$，即$f(x)-g(x)=-\frac{1}{x + 1}$ ②。
联立①②，①+②得：$2f(x)=\frac{1}{x - 1}-\frac{1}{x + 1}=\frac{(x + 1)-(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}=\frac{2}{x^2 - 1}$，所以$f(x)=\frac{1}{x^2 - 1}$。
①-②得：$2g(x)=\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{x + 1}=\frac{(x + 1)+(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}=\frac{2x}{x^2 - 1}$，所以$g(x)=\frac{x}{x^2 - 1}$。
(1)$f(0)=0$，$f(-1)=\frac{1}{2}$，$f(x)=\begin{cases}-\frac{x}{1 - x},&x＜0\\0,&x = 0\\-\frac{x}{1 + x},&x＞0\end{cases}$；
(2)$f(x)=\frac{1}{x^2 - 1}$，$g(x)=\frac{x}{x^2 - 1}$。