《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 1 相互独立事件概率的计算 5年7考
例 1(天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球(除颜色外，其余都相同)，其总数之比为 $ 5:4:6 $。这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 $ 40\% $，$ 25\% $，$ 50\% $。现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 0.05；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 $\frac{3}{5}$。

答案： 例1：
设甲、乙、丙三个盒子中球的总数分别为 $5n$，$4n$，$6n$。
甲盒中黑球数为 $2n$，乙盒中黑球数为 $n$，丙盒中黑球数为 $3n$。
从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为：
$P(A) = \frac{2n}{5n} × \frac{n}{4n} × \frac{3n}{6n} = 0.4 × 0.25 × 0.5 = 0.05$
将三个盒子混合后，白球总数为 $3n + 3n + 3n = 9n$，总球数为 $15n$。
所以，将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为：
$P(B) = \frac{9n}{15n} = \frac{3}{5}$
答案：$0.05$；$\frac{3}{5}$。

例 2 已知甲的投篮命中率为 $ 0.6 $，乙的投篮命中率为 $ 0.7 $，丙的投篮命中率为 $ 0.5 $。甲、乙、丙各投篮一次，求：
(1) 甲和乙命中，丙不命中的概率；
(2) 恰有一人命中的概率；
(3) 至少有一人命中的概率。

答案： 例2：
(1) $P(A) = 0.6$，$P(B) = 0.7$，$P(\overline{C}) = 0.5$。
甲和乙命中，丙不命中的概率为：
$P(AB\overline{C}) = 0.6 × 0.7 × 0.5 = 0.21$
答案：$0.21$。
(2) $P(\overline{A}) = 0.4$，$P(\overline{B}) = 0.3$。
恰有一人命中的概率为：
$P(D) = 0.6 × 0.3 × 0.5 + 0.4 × 0.7 × 0.5 + 0.4 × 0.3 × 0.5 = 0.29$
答案：$0.29$。
(3) 至少有一人命中的概率为：
$P(E) = 1 - P(\overline{A}\overline{B}\overline{C}) = 1 - 0.4 × 0.3 × 0.5 = 0.94$
答案：$0.94$。

母题 2 相互独立事件与互斥事件概率的综合应用
例 3 为抗击某种传染性疾病，某单位组织中、老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响）。根据大数据比对，中年员工甲每针接种后合格的概率分别为 $ \frac{7}{8} $，$ \frac{5}{6} $，$ \frac{5}{7} $；老年员工乙每针接种后合格的概率分别为 $ \frac{8}{9} $，$ \frac{3}{4} $，$ \frac{3}{4} $。
(1) 甲、乙两人中，谁接种成功的概率更大？
(2) 若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率。

答案：
(1) 记甲接种成功为事件$A$，乙接种成功为事件$B$。
$P(A)=\frac{7}{8}×\frac{5}{6}×\frac{5}{7}=\frac{25}{48}$，
$P(B)=\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$。
$\because\frac{25}{48}＞\frac{1}{2}$，$\therefore$甲接种成功的概率更大。
(2) 记两人中至少有一人接种成功为事件$C$。
方法1：$P(C)=P(AB)+P(\overline{A}B)+P(A\overline{B})$
$=P(A)P(B)+P(\overline{A})P(B)+P(A)P(\overline{B})$
$=\frac{25}{48}×\frac{1}{2}+(1-\frac{25}{48})×\frac{1}{2}+\frac{25}{48}×(1-\frac{1}{2})=\frac{73}{96}$。
方法2：$\overline{C}=\overline{A}\overline{B}$，
$P(\overline{C})=P(\overline{A})P(\overline{B})=(1-\frac{25}{48})×(1-\frac{1}{2})=\frac{23}{96}$，
$P(C)=1-P(\overline{C})=1-\frac{23}{96}=\frac{73}{96}$。
故两人中至少有一人接种成功的概率为$\frac{73}{96}$。