《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

拓展1直线与抛物线相切问题的重要结论
1.抛物线的切线:过抛物线y²=2px(p＞0)上的点P(x1,y1)的
切线方程是yy=p(x+x1).[拓展延伸抛物线y²=2px(p＞
0)的斜率为k的切线方程是y=kx+一(k≠0).
2.若抛物线A²=2px(p＞0)在点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)处的
两条切线相交于点M((x,y0),则两条切线相交于点M((x,y0),则二,二.

3.如图,AB是抛物线x²=2py(p＞0)的一条
过焦点的弦(焦点弦),分别过A,B作抛物
线的切线，交于点P,连接PF,则有以下
结论:[学以致用]
(1)点P的轨迹是一条直线,即抛物线的准线l:
((23))P两________F切⊥线A互B;相垂直，即P________A⊥PB;
(4)点P的坐标为$\frac{XA+xB}{2}$

答案： 1. 抛物线的切线：过抛物线$y^2 = 2px(p ＞ 0)$上的点$P(x_1,y_1)$的切线方程是$y_1y = p(x + x_1)$。[拓展延伸] 抛物线$y^2 = 2px(p ＞ 0)$的斜率为$k$的切线方程是$y = kx + \frac{p}{2k}(k \neq 0)$。
2. 若抛物线$y^2 = 2px(p ＞ 0)$在点$P_1(x_1,y_1)$和$P_2(x_2,y_2)$处的两条切线相交于点$M(x_0,y_0)$，则$x_0 = \frac{y_1y_2}{2p}$，$y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2}$。
3. 如图，$AB$是抛物线$x^2 = 2py(p ＞ 0)$的一条过焦点的弦（焦点弦），分别过$A,B$作抛物线的切线，交于点$P$，连接$PF$，则有以下结论：
(1) 点$P$的轨迹是一条直线，即抛物线的准线$l:y = -\frac{p}{2}$；
(2) 两切线互相垂直，即$PA \perp PB$；
(3) $PF \perp AB$；
(4) 点$P$的坐标为$\left( \frac{x_A + x_B}{2}, -\frac{p}{2} \right)$。

拓展2抛物线焦点弦的性质
如图,已知抛物线y²=2px(p＞0),F是抛物线
的焦点，AB是过抛物线焦点的弦，直线AB的倾
斜角为θ,且A(x1,y1),B(x2,y2),过点A,B向

准线作垂线,垂足分别为C,D,则有以下
结论:[拓展延伸]
(1)x1x2=,yy2=−pp²;
(2)|AF|=1−cos9,|BF|=1+cos;
(3)|AB|=x1+x2+p=si,抛物线的通径长为2pp,通径是最
短的焦点弦;[温馨提示]
(4)S△AB=i2sinθ.”
(5)$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2}{p}$;
(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;

(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切;
(8)以CD为直径的圆与直线AB相切,切点为F,∠CFD=90°;
(9)A,O,D三点共线,B,O,C三点也共线.

答案：
(1) 证明：抛物线$y^2 = 2px(p＞0)$焦点$F(\frac{p}{2},0)$，设直线$AB$方程为$y = k(x - \frac{p}{2})(k = \tan\theta)$，联立$\begin{cases}y = k(x - \frac{p}{2}) \\ y^2 = 2px\end{cases}$，消$y$得$k^2x^2 - (k^2p + 2p)x + \frac{k^2p^2}{4} = 0$。由韦达定理$x_1x_2 = \frac{\frac{k^2p^2}{4}}{k^2} = \frac{p^2}{4}$；消$x$得$y^2 - \frac{2p}{k}y - p^2 = 0$，韦达定理$y_1y_2 = -p^2$。垂直时$x = \frac{p}{2}$，$y_1 = p,y_2 = -p$，亦成立。故$x_1x_2 = \frac{p^2}{4},y_1y_2 = -p^2$。
(2) 证明：由抛物线定义，$|AF| = x_1 + \frac{p}{2}$。直线参数方程$\begin{cases}x = \frac{p}{2} + t\cos\theta \\ y = t\sin\theta\end{cases}$代入抛物线得$t^2\sin^2\theta - 2pt\cos\theta - p^2 = 0$。设$t_1＞0,t_2＜0$，则$|AF| = t_1$，且$t_1 = x_1 + \frac{p}{2} = (\frac{p}{2} + t_1\cos\theta) + \frac{p}{2} = p + t_1\cos\theta$，解得$t_1 = \frac{p}{1 - \cos\theta}$。同理$|BF| = -t_2 = \frac{p}{1 + \cos\theta}$。
(3) 证明：由定义$|AB| = |AF| + |BF| = (x_1 + \frac{p}{2}) + (x_2 + \frac{p}{2}) = x_1 + x_2 + p$。由
(2)$|AB| = \frac{p}{1 - \cos\theta} + \frac{p}{1 + \cos\theta} = \frac{2p}{\sin^2\theta}$。通径时$\theta = 90°$，$|AB| = 2p$，且$\sin^2\theta \leq 1$，故通径最短。
(4) 证明：$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOF} + S_{\triangle BOF} = \frac{1}{2} · \frac{p}{2}(|y_1| + |y_2|) = \frac{p}{4}|y_1 - y_2|$。由
(1)中$y$方程，$|y_1 - y_2| = \sqrt{(\frac{2p}{k})^2 + 4p^2} = \frac{2p}{\sin\theta}$，故$S = \frac{p}{4} · \frac{2p}{\sin\theta} = \frac{p^2}{2\sin\theta}$。
(5) 证明：由
(2)$\frac{1}{|AF|} + \frac{1}{|BF|} = \frac{1 - \cos\theta}{p} + \frac{1 + \cos\theta}{p} = \frac{2}{p}$。
(6) 证明：$AB$中点$M(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$，半径$r = \frac{|AB|}{2} = \frac{x_1 + x_2 + p}{2}$。圆心到准线距离$d = \frac{x_1 + x_2}{2} + \frac{p}{2} = r$，故相切。
(7) 证明：$AF$中点$(\frac{x_1 + \frac{p}{2}}{2},\frac{y_1}{2})$，半径$\frac{|AF|}{2} = \frac{x_1 + \frac{p}{2}}{2}$，到$y$轴距离等于半径，故相切。同理$BF$亦然。
(8) 证明：$C(-\frac{p}{2},y_1),D(-\frac{p}{2},y_2)$，中点$E(-\frac{p}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$，半径$\frac{|y_1 - y_2|}{2}$。$E$到$AB$距离$d = \frac{|-kp - \frac{y_1 + y_2}{2}|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{p}{\sin\theta} = $半径，故相切。$\overrightarrow{FC} · \overrightarrow{FD} = (-p,y_1) · (-p,y_2) = p^2 + y_1y_2 = 0$，故$\angle CFD = 90°$。
(9) 证明：$A(x_1,y_1),D(-\frac{p}{2},y_2)$，$k_{OA} = \frac{y_1}{x_1}$，$k_{OD} = \frac{y_2}{-\frac{p}{2}} = \frac{-\frac{p^2}{y_1}}{-\frac{p}{2}} = \frac{2p}{y_1} = \frac{y_1}{x_1}$（因$y_1^2 = 2px_1$），故共线。同理$B,O,C$共线。
综上，结论均成立。