《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例5已知椭圆C:$\frac{x²}{3}$+y²=1的左、
右焦点分别为F1,F2,直线y=x十
m与椭圆C交于A,B两点,若
△F1AB的面积是△F2AB的面积的2倍,则
m= (C)

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{√2}{3}$
C.−$\frac{√2}{3}$
D.−$\frac{2}{3}$

答案： 解析由题意可知,S△FAB=2S△FAB.
设椭圆$\frac{x²}{3}$+y²=1的左、右焦点F1(一√2,
0),F2(√2,0)到直线y=x十m的距离分别
为d1,d2,则$\frac{1}{2}$|AB|.d1=2×$\frac{1}{2}$AB|.d2,
即d1=2d2.将d1=l−√纟2+ml,d2=
√2√+2ml代入上式,解得m=−$\frac{√2}{3}$或m=
−3√2.因为椭圆C:$\frac{x²}{3}$+y²=1与直线y=
x十m有两个交点，所以联立{$\frac{x²}{3}$+y²=1”得
y=x+m,
4x²+6mx+3m²2−3=0,
所以△=(6m)²−4×4(3m²−3)=48−12m²＞0,
解得−2＜m＜2,所以m=−$\frac{\sqrt{2}}{3}$.
答案C