《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 1 在长方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中，$ AB = 4 $，$ AD = 3 $，$ AA_1 = 2 $，$ P,Q,R,S $ 分别是 $ AA_1,D_1C_1,AB,CC_1 $ 的中点。求证：$ PQ// RS $。

答案： 证明：
方法1（坐标法）：
以$D$为坐标原点，$DA,DC,DD_1$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立空间直角坐标系$Dxyz$。
则$P(3,0,1)$，$Q(0,2,2)$，$R(3,2,0)$，$S(0,4,1)$。
$\overrightarrow{PQ}=(-3,2,1)$，$\overrightarrow{RS}=(-3,2,1)$。
$\because\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{RS}$，$\therefore\overrightarrow{PQ}//\overrightarrow{RS}$，$\therefore PQ// RS$。
方法2（基向量法）：
取基底$\{\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DD_1}\}$。
$\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{RC}+\overrightarrow{CS}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DD_1}$。
$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{A_1Q}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DD_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}$。
$\because\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{PQ}$，$\therefore\overrightarrow{RS}//\overrightarrow{PQ}$，$\therefore RS// PQ$。

例 2 已知正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 的棱长为 $ 2 $，$ E,F $ 分别是 $ BB_1,DD_1 $ 的中点，求证：
(1) $ FC_1// $ 平面 $ ADE $；
(2) 平面 $ ADE// $ 平面 $ B_1C_1F $。

答案：
(1) 以 $ D $ 为坐标原点，$ DA,DC,DD_1 $ 所在直线分别为 $ x $ 轴、$ y $ 轴、$ z $ 轴，建立空间直角坐标系 $ Dxyz $。
棱长为 2，各点坐标：$ D(0,0,0) $，$ A(2,0,0) $，$ C_1(0,2,2) $，$ E(2,2,1) $，$ F(0,0,1) $。
$\overrightarrow{FC_1}=(0,2,1)$，$\overrightarrow{DA}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{DE}=(2,2,1)$。
设平面 $ ADE $ 的法向量 $ \boldsymbol{n}_1=(x_1,y_1,z_1) $，则
$\begin{cases} \boldsymbol{n}_1 · \overrightarrow{DA}=2x_1=0 \\ \boldsymbol{n}_1 · \overrightarrow{DE}=2x_1 + 2y_1 + z_1=0 \end{cases}$，
解得 $ x_1=0 $，令 $ y_1=1 $，则 $ z_1=-2 $，$\boldsymbol{n}_1=(0,1,-2)$。
$\overrightarrow{FC_1} · \boldsymbol{n}_1=0 × 0 + 2 × 1 + 1 × (-2)=0$，$\overrightarrow{FC_1} \perp \boldsymbol{n}_1$。
又 $ FC_1 \not\subset $ 平面 $ ADE $，故 $ FC_1 // $ 平面 $ ADE $。
(2) 由
(1)，$ B_1(2,2,2) $，$\overrightarrow{C_1B_1}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{FC_1}=(0,2,1)$。
设平面 $ B_1C_1F $ 的法向量 $ \boldsymbol{n}_2=(x_2,y_2,z_2) $，则
$\begin{cases} \boldsymbol{n}_2 · \overrightarrow{C_1B_1}=2x_2=0 \\ \boldsymbol{n}_2 · \overrightarrow{FC_1}=2y_2 + z_2=0 \end{cases}$，
解得 $ x_2=0 $，令 $ y_2=1 $，则 $ z_2=-2 $，$\boldsymbol{n}_2=(0,1,-2)$。
$\boldsymbol{n}_1=(0,1,-2)=\boldsymbol{n}_2$，故平面 $ ADE // $ 平面 $ B_1C_1F $。