《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 4 幂函数模型的应用
例 5 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮。某公司研发的 A，B 两种芯片都已经获得成功，该公司研发芯片已经耗费资金 2 千万元，现在准备投入资金进行生产。经市场调查与研究发现，生产 A 芯片的毛收入$y_{1}$(千万元)与投入的资金$x_{1}$(千万元)成正比，且投入 1 千万元时，公司获得的毛收入为 0.25 千万元；生产 B 芯片的毛收入$y_{2}$(千万元)与投入的资金$x_{2}$(千万元)的函数关系为$y_{2}=kx_{2}^{a}$，其图象如图所示。现该公司准备投入 40 千万元资金同时生产 A，B 两种芯片，则可以获得的最大利润是9千万元。(毛收入=营业收入 - 营业成本)

答案： 9

母题 5 分段函数模型的应用
例 6 某地居民用电采用“阶梯电价”，其标准如下：每户每月用电不超过 120 千瓦·时，每千瓦·时 0.6 元；超过 120 千瓦·时，但不超过 300 千瓦·时的部分，每千瓦·时 0.8 元；超过 300 千瓦·时，但不超过 500 千瓦·时的部分，每千瓦·时 1 元；超过 500 千瓦·时的部分，每千瓦·时 1.2 元。设该地居民 A 某月用电量为 x 千瓦·时，所缴电费为 y 元。
(1)求 y 关于 x 的函数解析式；
(2)若居民 A 某月所缴电费为 256 元，求居民 A 该月的用电量。

答案： 答题卡：
(1)由题意，$y$关于$x$的函数解析式为：
$y = \begin{cases} 0.6x, & 0 \leqslant x \leqslant 120, \\0.8x - 24, & 120 ＜ x \leqslant 300, \\x - 84, & 300 ＜ x \leqslant 500, \\1.2x - 184, & x ＞ 500 .\end{cases}$
(2)当$0 \leqslant x \leqslant 120$时，$y_{max} = 0.6 × 120 = 72$，不符合题意；
当$120 ＜ x \leqslant 300$时，$y_{max} = 0.8 × 300 - 24 = 216$，不符合题意；
当$300 ＜ x \leqslant 500$时，解方程$x - 84 = 256$，得$x = 340$，符合题意；
当$x ＞ 500$时，$y_{min} = 1.2 × 500 - 184 = 416$，不符合题意。
综上，居民A该月的用电量为$340$千瓦·时。