《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题2 三角函数式的化简问题 5年1考
例4 化简：
(1)$\frac{2cos^{2}α-1}{2tan(\frac{π}{4}-α)sin^{2}(\frac{π}{4}+α)}$；
(2)$\frac{2cos10^{\circ}-2\sqrt{3}cos(-100^{\circ})}{\sqrt{1-sin10^{\circ}}}$。

答案：
(1)
原式$=\frac{\cos2\alpha}{2\tan(\frac{\pi}{4}-\alpha)\cos^{2}(\frac{\pi}{4}-\alpha)}$
$=\frac{\cos2\alpha}{2\sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)}$
$=\frac{\cos2\alpha}{\sin(\frac{\pi}{2}-2\alpha)}$
$=\frac{\cos2\alpha}{\cos2\alpha}$
$=1$
(2)
原式$=\frac{2\cos10^{\circ}-2\sqrt{3}\cos100^{\circ}}{\sqrt{1 - \sin10^{\circ}}}$
$=\frac{2\cos10^{\circ}-2\sqrt{3}\cos(90^{\circ}+10^{\circ})}{\sqrt{1 - \sin10^{\circ}}}$
$=\frac{2\cos10^{\circ}+2\sqrt{3}\sin10^{\circ}}{\sqrt{1 - \sin10^{\circ}}}$
$=\frac{4(\frac{1}{2}\cos10^{\circ}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin10^{\circ})}{\sqrt{\sin^{2}5^{\circ}+\cos^{2}5^{\circ}-2\sin5^{\circ}\cos5^{\circ}}}$
$=\frac{4\cos(60^{\circ}-10^{\circ})}{\sqrt{(\cos5^{\circ}-\sin5^{\circ})^{2}}}$
$=\frac{4\cos50^{\circ}}{\cos5^{\circ}-\sin5^{\circ}}$
$=\frac{4\cos50^{\circ}}{\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos5^{\circ}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin5^{\circ})}$
$=\frac{4\cos50^{\circ}}{\sqrt{2}\cos50^{\circ}}$
$=2\sqrt{2}$