《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

已知实数$a,b$满足$2^a = 5^b = m$，且$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 2$，则$m=$$2\sqrt{5}$。

答案： $2\sqrt{5}$

若$\log_a2 = m$，$\log_a3 = n$，则$a^{2m - n}=$$\frac{4}{3}$。

答案： $\frac{4}{3}$

母题1 指数式与对数式的互化和求值
例1(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(ACD)

A.$e^0 = 1$与$\ln1 = 0$
B.$\log_24 = 2$与$4^2 = 2$
C.$\log_{25}\frac{1}{5} = -\frac{1}{2}$与$25^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{5}$
D.$3^1 = 3$与$\log_33 = 1$

答案： ACD

母题2 对数式的化简求值
例2 计算：
（1）$3\log_32 - \log_3\frac{40}{9} + \log_35 - 5^{2\log_53}$；
（2）$\log_23×\log_34 + (\lg5)^2 + \lg5×\lg20 + \frac{1}{2}\lg16 - 2^{\log_23}$；
（3）$\frac{2\lg2 + \lg3}{1 + \frac{1}{2}\lg0.36 + \frac{1}{3}\lg8} + \log_2\frac{1}{25}×\log_3\frac{1}{8}×\log_5\frac{1}{9}$；
（4）$(\log_43 + \log_83)(\log_32 + \log_92)$；
（5）$(\log_43 + \log_83)(\log_32 + \log_92) + \log_3\frac{\sqrt[4]{27}}{3} + 7^{\log_72}$。

答案： （1）原式$=3\log_32 - \log_3\frac{40}{9} + \log_35 - 5^{2\log_53}$
$=\log_32^3 - \log_3\frac{40}{9} + \log_35 - 5^{\log_53^2}$
$=\log_38 - \log_3\frac{40}{9} + \log_35 - 9$
$=\log_3\left(8×\frac{9}{40}×5\right) - 9$
$=\log_39 - 9$
$=2 - 9 = -7$。
（2）原式$=\log_23×\log_34 + (\lg5)^2 + \lg5×\lg20 + \frac{1}{2}\lg16 - 2^{\log_23}$
$=\frac{\lg3}{\lg2}×\frac{\lg4}{\lg3} + \lg5(\lg5 + \lg20) + \lg16^{\frac{1}{2}} - 3$
$=2 + \lg5×\lg100 + \lg4 - 3$
$=2 + 2\lg5 + 2\lg2 - 3$
$=2(\lg5 + \lg2) - 1$
$=2 - 1 = 1$。
（3）原式$=\frac{2\lg2 + \lg3}{1 + \frac{1}{2}\lg0.36 + \frac{1}{3}\lg8} + \log_2\frac{1}{25}×\log_3\frac{1}{8}×\log_5\frac{1}{9}$
$=\frac{\lg4 + \lg3}{\lg10 + \lg0.36^{\frac{1}{2}} + \lg8^{\frac{1}{3}}} + \frac{-\lg25}{\lg2}×\frac{-\lg8}{\lg3}×\frac{-\lg9}{\lg5}$
$=\frac{\lg12}{\lg10 + \lg0.6 + \lg2} + \frac{-2\lg5}{\lg2}×\frac{-3\lg2}{\lg3}×\frac{-2\lg3}{\lg5}$
$=\frac{\lg12}{\lg12} - 12 = 1 - 12 = -11$。
（4）原式$=(\log_43 + \log_83)(\log_32 + \log_92)$
$=\left(\frac{\lg3}{\lg4} + \frac{\lg3}{\lg8}\right)\left(\frac{\lg2}{\lg3} + \frac{\lg2}{\lg9}\right)$
$=\left(\frac{\lg3}{2\lg2} + \frac{\lg3}{3\lg2}\right)\left(\frac{\lg2}{\lg3} + \frac{\lg2}{2\lg3}\right)$
$=\frac{5\lg3}{6\lg2}×\frac{3\lg2}{2\lg3} = \frac{5}{4}$。
（5）原式$=(\log_43 + \log_83)(\log_32 + \log_92) + \log_3\frac{\sqrt[4]{27}}{3} + 7^{\log_72}$
$=\left(\frac{1}{2}\log_23 + \frac{1}{3}\log_23\right)\left(\log_32 + \frac{1}{2}\log_32\right) + \log_33^{-\frac{1}{4}} + 2$
$=\frac{5}{6}\log_23×\frac{3}{2}\log_32 - \frac{1}{4} + 2$
$=\frac{5}{4} - \frac{1}{4} + 2 = 3$。