《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题1 探求向量间的关系
例1(多选)如图，在$\triangle ABC$中，$AD$，$BE$，$CF$分别是边$BC$，$CA$，$AB$上的中线，且相交于点$G$，则下列结论正确的是(BC)


A.$\overrightarrow{DG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AG}$
B.$\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$
C.$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\boldsymbol{0}$
D.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AG}$

答案： BC

母题2 用已知向量表示相关向量
例2 如图所示，在平行四边形$OADB$中，设向量$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$。已知$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$，用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$分别表示$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{MN}$。

答案： 因为$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，C为平行四边形OADB对角线交点，故$\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$，$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{6}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$，则$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM}=\boldsymbol{b}+\frac{1}{6}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\frac{1}{6}\boldsymbol{a}+\frac{5}{6}\boldsymbol{b}$。
$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，C为OD中点，故$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$，$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$，$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}=\frac{1}{6}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$，则$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\frac{1}{6}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\frac{2}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$。
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\left(\frac{2}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}\right)-\left(\frac{1}{6}\boldsymbol{a}+\frac{5}{6}\boldsymbol{b}\right)=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{6}\boldsymbol{b}$。
$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{6}\boldsymbol{a}+\frac{5}{6}\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{ON}=\frac{2}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{6}\boldsymbol{b}$。