《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题1 向量的表示

例1 由若干个边长为$1$的小正方形组成的方格纸如图所示，方格纸中有定点$A,C$为小正方形的顶点，且$\vert\overrightarrow{AC}\vert=\sqrt{5}$，画出所有的向量$\overrightarrow{AC}$.

答案：
①从点$A$出发，沿右上方，指向小正方形顶点$C_1$，$\overrightarrow{AC_1}$。
②从点$A$出发，沿右方，指向小正方形顶点$C_2$，$\overrightarrow{AC_2}$。
③从点$A$出发，沿右下方，指向小正方形顶点$C_3$，$\overrightarrow{AC_3}$。
④从点$A$出发，沿左下方，指向小正方形顶点$C_4$，$\overrightarrow{AC_4}$。
⑤从点$A$出发，沿左方，指向小正方形顶点$C_5$，$\overrightarrow{AC_5}$。
⑥从点$A$出发，沿左上方，指向小正方形顶点$C_6$，$\overrightarrow{AC_6}$。
⑦从点$A$出发，沿上方，指向小正方形顶点$C_7$，$\overrightarrow{AC_7}$。
⑧从点$A$出发，沿下方，指向小正方形顶点$C_8$，$\overrightarrow{AC_8}$。
如图（解题图已给出，共画出8个向量$\overrightarrow{AC}$）。

母题2 相等向量
例2 如图所示，$O$是正六边形$ABCDEF$的中心，且$\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$，$\overrightarrow{OC}=c$.
(1)与$a$的模相等的向量有多少个？
(2)与$a$的模相等且方向相反的向量有哪些？
(3)与$a$共线的向量有哪些？
(4)请分别列出所有与$a,b,c$相等的向量.

答案：
(1)23个
(2)$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{FE}$
(3)$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{FE}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{DO}$，$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{AD}$
(4)与$a$相等的向量：$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{DO}$，$\overrightarrow{CB}$；与$b$相等的向量：$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{EO}$，$\overrightarrow{FA}$；与$c$相等的向量：$\overrightarrow{FO}$，$\overrightarrow{ED}$，$\overrightarrow{AB}$

母题3 平面向量的简单应用

例3 如图，在四边形$ABCD$中，$M,N$分别是$BC,AD$的中点，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.求证：$CN\perp MA$.

答案： 证明：由$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$及$AB$与$DC$不共线可知，$AB=DC$且$AB// DC$，所以四边形$ABCD$为平行四边形，所以$AD\perp BC$.
又$M,N$分别是$BC,AD$的中点，所以$AN=MC$且$AN// MC$，所以四边形$AMCN$是平行四边形，所以$CN\perp MA$.