《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例11(全国甲卷)记△ABC的内角
A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
$\frac{b²+c²−a²}{coSA}$=2.
(1)求bc;
(2)若$\frac{acosB−bcosA}{acosB+bcosA}$−$\frac{6}{C}$=1,求△ABC的面积.

答案：
(1)
由余弦定理$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，可得$b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bc\cos A$。
已知$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{\cos A}=2$，则$\frac{2bc\cos A}{\cos A}=2$，解得$bc = 1$。
(2)
由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，可得$a=\frac{b\sin A}{\sin B}$，$c=\frac{b\sin C}{\sin B}$。
$\frac{a\cos B - b\cos A}{a\cos B + b\cos A}-\frac{6}{C（此处应为\frac{a\cos B - b\cos A}{a\cos B + b\cos A}-\frac{b}{c}）}=\frac{\sin A\cos B-\sin B\cos A}{\sin A\cos B+\sin B\cos A}-\frac{\sin B}{\sin C}$
$=\frac{\sin(A - B)}{\sin(A + B)}-\frac{\sin B}{\sin(A + B)}=\frac{\sin(A - B)-\sin B}{\sin(A + B)} = 1$
所以$\sin(A - B)-\sin(A + B)=\sin(A + B)$，即$\sin(A - B)-\sin(A + B)=\sin B$。
根据两角和与差的正弦公式展开得$-2\cos A\sin B=\sin B$。
因为$0\lt B\lt\pi$，所以$\sin B\neq0$，则$\cos A=-\frac{1}{2}$。
又因为$0\lt A\lt\pi$，所以$\sin A=\sqrt{1-\cos^{2}A}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
由
(1)知$bc = 1$，根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A$，可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。
综上，答案为
(1)$bc = 1$；
(2)$\frac{\sqrt{3}}{4}$。

例12在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知$\frac{\sqrt{3}}{3}$bsinC+ccosB=a.
(1)若α=2,b=$\sqrt{3}$,求△ABC的
面积;
(2)若c=2,求△ABC周长的取值名师讲题
范围.

答案：
(1)$\frac{3}{2}$；
(2)$(4,6$。