《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例1如图所示，以△ABC的两边
AB,AC为边分别向外作正方形
ABGF和正方形ACDE,M为BC
的中点，连接AM,EF.求证:AM⊥EF.

答案： 证明：设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{c}$。
∵M为BC中点，
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$。
∵ABGF，ACDE为正方形，
∴$|\overrightarrow{AF}|=|\overrightarrow{AB}|=|\boldsymbol{b}|$，$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AF}$，故$\boldsymbol{b}·\overrightarrow{AF}=0$；$|\overrightarrow{AE}|=|\overrightarrow{AC}|=|\boldsymbol{c}|$，$\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{AE}$，故$\boldsymbol{c}·\overrightarrow{AE}=0$。
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}$，则
$\overrightarrow{AM}·\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})·(\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE})=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{b}·\overrightarrow{AF}-\boldsymbol{b}·\overrightarrow{AE}+\boldsymbol{c}·\overrightarrow{AF}-\boldsymbol{c}·\overrightarrow{AE}\right)$。
由$\boldsymbol{b}·\overrightarrow{AF}=0$，$\boldsymbol{c}·\overrightarrow{AE}=0$，得
$\overrightarrow{AM}·\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{c}·\overrightarrow{AF}-\boldsymbol{b}·\overrightarrow{AE}\right)$。
设$\angle BAC=\theta$，则$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{AF}$夹角为$90°+\theta$，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AE}$夹角为$90°+\theta$。
$\boldsymbol{c}·\overrightarrow{AF}=|\boldsymbol{c}||\overrightarrow{AF}|\cos(90°+\theta)=|\boldsymbol{c}||\boldsymbol{b}|\cos(90°+\theta)$，
$\boldsymbol{b}·\overrightarrow{AE}=|\boldsymbol{b}||\overrightarrow{AE}|\cos(90°+\theta)=|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{c}|\cos(90°+\theta)$。
故$\boldsymbol{c}·\overrightarrow{AF}-\boldsymbol{b}·\overrightarrow{AE}=0$，从而$\overrightarrow{AM}·\overrightarrow{EF}=0$。
因此$\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{EF}$，即$AM\perp EF$。

例2如图，在直角三角形ABC中，
∠C=90°,CA=3,CB=4,CD=
mCA,CE=nCB,其中m,n∈(0,名师讲题
1),设DE的中点为M,AB的中点为N,连
接CM,CN,MN.

(1)若m=n,求证:C,M,N三点共线;
(2)若m十n=1,求|MN|的最小值.

答案：
(1)
证明：
因为$m = n$，$\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$为向量，$\overrightarrow{CD}=m\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CE}=n\overrightarrow{CB}$。
$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CE})=\frac{1}{2}(m\overrightarrow{CA}+m\overrightarrow{CB})=\frac{m}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$，
$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$，
所以$\overrightarrow{CM}=m\overrightarrow{CN}$，
故$C,M,N$三点共线。
(2)
因为$m + n = 1$，$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CE})=\frac{1}{2}(m\overrightarrow{CA}+n\overrightarrow{CB})$，
$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$，
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})-\frac{1}{2}(m\overrightarrow{CA}+n\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}((1 - m)\overrightarrow{CA}+(1 - n)\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}(n\overrightarrow{CA}+m\overrightarrow{CB})$，
$\vert\overrightarrow{MN}\vert^{2}=\frac{1}{4}\vert n\overrightarrow{CA}+m\overrightarrow{CB}\vert^{2}=\frac{1}{4}(9n^{2}+16m^{2}+2mn\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CB})$，
因为$\angle C = 90^{\circ}$，$\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CB}=0$，
所以$\vert\overrightarrow{MN}\vert^{2}=\frac{1}{4}(9n^{2}+16m^{2})=\frac{1}{4}[9(1 - m)^{2}+16m^{2}]=\frac{1}{4}(25m^{2}-18m + 9)$，
当$m=\frac{18}{2×25}=\frac{9}{25}$时，$\vert\overrightarrow{MN}\vert^{2}$取得最小值，
最小值为$\frac{1}{4}×[25×(\frac{9}{25})^{2}-18×\frac{9}{25}+9]=\frac{36}{25}$，
即$\vert\overrightarrow{MN}\vert$的最小值为$\frac{6}{5}$。