《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 1 根式的化简求值
例 1 化简下列各式：
（1）$\sqrt[3]{0.125} - \sqrt[3]{(2 - \sqrt{3})^3} + \sqrt[4]{(\sqrt{3} - 2)^4}$；
（2）$\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2} - 2}(0 ＜ x ＜ 1)$；
（3）$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$。

答案： （1）
$\begin{aligned}&\sqrt[3]{0.125} - \sqrt[3]{(2 - \sqrt{3})^3} + \sqrt[4]{(\sqrt{3} - 2)^4} \\&= \sqrt[3]{0.5^3} - (2 - \sqrt{3}) + |\sqrt{3} - 2| \\&= 0.5 - (2 - \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) \\&= 0.5\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2} - 2} \\&= \sqrt{(x - \frac{1}{x})^2} \\&= |x - \frac{1}{x}| \\&= \frac{1}{x} - x \quad (0 ＜ x ＜ 1)\end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned}&\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}} \\&= \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} + \sqrt{\frac{(\sqrt{5} - 1)^2}{2}} \\&= \sqrt{5} - 2 + \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} \\&= \sqrt{5} - 2 + \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$

母题 2 指数幂的化简与求值
例 2 计算：
（1）$8^{\frac{2}{3}} × 100^{-\frac{1}{2}} × \sqrt[4]{(\frac{16}{81})^{-3}} × (\frac{1}{4})^{-3}$；
（2）$0.064^{-\frac{1}{3}} - (- \pi)^0 + 8^{0.25} × \sqrt[4]{2} + \sqrt{(3 - \pi)^2} + (\sqrt[3]{2} × \sqrt{3})^6$。

答案： （1）
原式$=8^{\frac{2}{3}}×100^{-\frac{1}{2}}×(\frac{81}{16})^{\frac{3}{4}}×4^{3}$
$ = (2^{3})^{\frac{2}{3}}×(10^{2})^{-\frac{1}{2}}×(\frac{3^{4}}{2^{4}})^{\frac{3}{4}}×(2^{2})^{3}$
$ = 2^{2}×10^{-1}×\frac{3^{3}}{2^{3}}×2^{6}$
$ = 4×\frac{1}{10}×\frac{27}{8}×64$
$=\frac{432}{5}$
（2）
原式$ = (0.4)^{3×(-\frac{1}{3})}-1 + 2^{3×\frac{1}{4}}×2^{\frac{1}{4}}+\vert3 - \pi\vert+(2^{\frac{1}{3}}×3^{\frac{1}{2}})^{6}$
$ = (\frac{2}{5})^{-1}-1 + 2^{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}} + (\pi - 3)+2^{2}×3^{3}$
$=\frac{5}{2}-1 + 2+\pi - 3 + 4×27$
$=\frac{5}{2}-1 + 2+\pi - 3 + 108$
$=\frac{5}{2}+106+\pi$
$=\frac{217}{2}+\pi$

母题 3 含附加条件的求值问题
例 3 （1）已知 $a + a^{-1} = 7$，分别求 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}$，$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}$ 的值。
（2）已知 $a$，$b$ 是方程 $x^2 - 6x + 4 = 0$ 的两个根，且 $a ＞ b ＞ 0$，求 $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ 的值。

答案： （1）
$\because a + a^{-1} = 7$，
$\therefore (a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 = a + a^{-1} + 2 = 7 + 2 = 9$，
$\because a ＞ 0$，
$\therefore a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$，
$\therefore a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})(a + a^{-1} - 1) = 3 × (7 - 1) = 18$。
（2）
$\because a$，$b$ 是方程 $x^2 - 6x + 4 = 0$ 的两个根，
$\therefore a + b = 6$，$ab = 4$，
$\therefore (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}})^2 = \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{a + b + 2\sqrt{ab}} = \frac{6 - 2\sqrt{4}}{6 + 2\sqrt{4}} = \frac{6 - 4}{6 + 4} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$，
$\because a ＞ b ＞ 0$，
$\therefore \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} ＞ 0$，
$\therefore \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。