《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 5(1)在三角形 $ABC$ 中，$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC} = 0$，$|\overrightarrow{BC}| = 6$，$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$，$\overrightarrow{BA}$ 在 $\overrightarrow{BC}$ 上的投影向量为 $\frac{5}{6}\overrightarrow{BC}$，则 $\overrightarrow{AO}·\overrightarrow{BC} =$(A)
A. $-12$
B. $-6$
C. $12$
D. $18$
(2)已知 $e_1$，$e_2$ 为单位向量且夹角为 $\frac{2\pi}{3}$，设 $a = 3e_1 + 2e_2$，$b = 3e_2$，则 $a$ 在 $b$ 上的投影向量为$\frac{1}{2}\vec{e_2}$。

答案：
(1)
由$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0$，知$\angle BAC = 90^{\circ}$，$O$为$BC$中点。
$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$上投影向量为$\frac{5}{6}\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}=\frac{5}{6}|\overrightarrow{BC}|^{2}=\frac{5}{6}×6^{2}=30$。
$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BA})$，$\overrightarrow{AO}·\overrightarrow{BC}=(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC})·(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$
$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^{2}$
因为$O$为$BC$中点，$\overrightarrow{AO}·\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{BA})·\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BO}·\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{BO}·\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}^{2}=18$，$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}=30$，所以$\overrightarrow{AO}·\overrightarrow{BC}=18 - 30=-12$。
答案选A。
(2)
因为$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$为单位向量且夹角为$\frac{2\pi}{3}$，则$\vec{e_1}·\vec{e_2}=1×1×\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$。
$\vec{a}·\vec{b}=(3\vec{e_1}+2\vec{e_2})·3\vec{e_2}=9\vec{e_1}·\vec{e_2}+6\vec{e_2}^{2}=9×(-\frac{1}{2})+6×1×1=\frac{3}{2}$，$|\vec{b}| = 3$。
$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影向量为$\frac{\vec{a}·\vec{b}}{|\vec{b}|^{2}}·\vec{b}=\frac{\frac{3}{2}}{9}×3\vec{e_2}=\frac{1}{2}\vec{e_2}$。
综上，
(1)答案为A；
(2)答案为$\frac{1}{2}\vec{e_2}$。