《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例2 已知集合A={1，2}，B={2，4}，C={z|z=x^y，x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C

例3 若3∈{m−1，3m，m²−1}，则实数m的值为4 或 ±2。

答案： 由题意，因为$3 \in \{ m-1, 3m, m^2 - 1 \}$，需要分三种情况讨论：
当 $m - 1 = 3$ 时，
解得 $m = 4$。
此时，集合为 $\{3, 12, 15\}$，满足集合中元素的互异性，符合题意。
当 $3m = 3$ 时，
解得 $m = 1$。
此时，集合为 $\{0, 3, 0\}$，不满足集合中元素的互异性（有两个0），故舍去。
当 $m^2 - 1 = 3$ 时，
方程变为 $m^2 = 4$，
解得 $m = \pm 2$。
对于 $m = 2$，集合为 $\{1, 6, 3\}$，满足集合中元素的互异性，符合题意。
对于 $m = -2$，集合为 $\{-3, -6, 3\}$，同样满足集合中元素的互异性，符合题意。
综上所述，实数 $m$ 的值为 $4$ 或 $\pm 2$。
$\boxed{4 或 \pm 2}$

例4 (多选)已知集合A={y|y=x²+1，x∈R}，集合B={(x，y)|y=x²+1}，则下列关系正确的是(ACD)

A.(1，2)∈B
B.A=B
C.0∉A
D.(0，0)∉B

答案： ACD

例5 已知集合A={x|x=m+√6n，其中m，n∈Q}。
（1）试分别判断x1=−√6，x2=√(2−√3)+√(2+√3)与集合A的关系。
（2）若x1，x2∈A，则x1x2是否一定为集合A中的元素？请说明你的理由。

答案： 答题卡：　　
$（1）$　　
对于$ x_1 = -\sqrt{6}$：　　
$x_1 = 0 + \sqrt{6} × (-1)，$　　
由于$ m = 0，$$n = -1 $均为有理数，所以$ x_1 \in A。$　　
对于$ x_2 = \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{2 + \sqrt{3}}$：　　
$x_2 = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} + \sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2}} + \sqrt{\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2}} = \sqrt{6} = 0 + \sqrt{6} × 1，$　　
由于$ m = 0，$$n = 1 $均为有理数，所以$ x_2 \in A。$　　
$（2）$　　
$x_1, x_2 \in A，$则存在$ m_1, m_2, n_1, n_2 \in \mathbb{Q}，$使得$ x_1 = m_1 + \sqrt{6}n_1，$$x_2 = m_2 + \sqrt{6}n_2。$　　
$x_1x_2 = (m_1 + \sqrt{6}n_1)(m_2 + \sqrt{6}n_2) = m_1m_2 + 6n_1n_2 + \sqrt{6}(m_1n_2 + m_2n_1)，$　　
由于$ m_1m_2 + 6n_1n_2 $和$ m_1n_2 + m_2n_1 $均为有理数，所以$ x_1x_2 \in A。$