《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题7 椭圆的实际应用问题5年4考?
例10如图，“神舟十三
号”载人飞船的运行轨
道是以地球的中心(简
称“地心”为一个焦点
的椭圆,其轨道的离心
率为e.设地球半径为r,
该飞船远地点离地面的距离为R,则该飞船近地点离地面的距离为$\frac{R−(R+2r)e}{1+e}$.
解析设椭圆轨道对应的方程为$\frac{x²}{a²}$+
²b2=1(a＞b＞0).
由 椭 圆 的 几 何 性 质， 知a+c=R+r, a=$\frac{R+r}{1+e}$,
{$\frac{C}{a}$=e, 则c= ,
{
$\frac{e(R+r)}{1+e}$
所以近地点离地面的距离为a一c一r=$\frac{R+}{1+e}$−$\frac{e(R+r)}{1+e}$−r=$\frac{R−(R+2r)e}{1+e}$.
答案$\frac{R−(R+2r)e}{1+e}$

答案： 设椭圆的长半轴长为$a$，半焦距为$c$。
由椭圆几何性质，远地点到地心距离为$a + c$，远地点离地面距离为$R$，地球半径为$r$，则$a + c = R + r$。
离心率$e = \frac{c}{a}$，即$c = ae$。
联立得$a + ae = R + r$，解得$a = \frac{R + r}{1 + e}$，$c = \frac{e(R + r)}{1 + e}$。
近地点到地心距离为$a - c$，故近地点离地面距离为$(a - c) - r$。
计算得$a - c = \frac{R + r}{1 + e} - \frac{e(R + r)}{1 + e} = \frac{(R + r)(1 - e)}{1 + e}$。
则近地点离地面距离为$\frac{(R + r)(1 - e)}{1 + e} - r = \frac{R - (R + 2r)e}{1 + e}$。
$\frac{R - (R + 2r)e}{1 + e}$