《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题3 对数方程问题
例3 解方程：
（1）$\log_3(1 - 2·3^x) = 2x + 1$；
（2）$\log_{\frac{1}{4}}(x - 5) = \log_{\frac{1}{4}}(x - 2) + 2$；
（3）$\log_5(x + 1) - \log_{\frac{1}{5}}(x - 3) = 1$；
（4）$\log_5^2x - \log_5x^2 = 3$。

答案： （1）
由$\log_3(1 - 2·3^x) = 2x + 1$，得$1 - 2·3^x = 3^{2x + 1}$。
令$t = 3^x(t\gt0)$，则$3t^2 + 2t - 1 = 0$。
因式分解得$(3t - 1)(t + 1) = 0$，解得$t = \frac{1}{3}$或$t = - 1$（舍去）。
所以$3^x = \frac{1}{3}$，即$x = - 1$。
经检验$x = - 1$是原方程的解。
（2）
原方程$\log_{\frac{1}{4}}(x - 5) = \log_{\frac{1}{4}}(x - 2) + 2$可化为$\log_{\frac{1}{4}}(x - 5) = \log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{16}(x - 2)=\log_{\frac{1}{4}}\frac{x - 2}{16}$。
则$\begin{cases}x - 5 = \frac{x - 2}{16}\\x - 5\gt0\\x - 2\gt0\end{cases}$，
由$x - 5 = \frac{x - 2}{16}$，$16(x - 5)=x - 2$，$16x - 80 = x - 2$，$15x = 78$，解得$x = 6$。
经检验$x = 6$满足$x - 5\gt0$且$x - 2\gt0$，是原方程的解。
（3）
因为$\log_{\frac{1}{5}}(x - 3)=-\log_5(x - 3)$，原方程$\log_5(x + 1) - \log_{\frac{1}{5}}(x - 3) = 1$可化为$\log_5(x + 1) + \log_5(x - 3) = \log_55$。
所以$\log_5[(x + 1)(x - 3)] = \log_55$，则$(x + 1)(x - 3) = 5$。
展开得$x^2 - 2x - 3 - 5 = 0$，即$x^2 - 2x - 8 = 0$。
因式分解得$(x - 4)(x + 2) = 0$，解得$x = - 2$或$x = 4$。
当$x = - 2$时，$x + 1=-1\lt0$，$x - 3=-5\lt0$，不满足对数函数定义域，舍去；当$x = 4$时满足条件，所以原方程的解为$x = 4$。
（4）
由$\log_5^2x - \log_5x^2 = 3$，设$t = \log_5x$，则$t^2 - 2t - 3 = 0$。
因式分解得$(t - 3)(t + 1) = 0$，解得$t = - 1$或$t = 3$。
当$t = - 1$时，$\log_5x = - 1$，则$x = \frac{1}{5}$；当$t = 3$时，$\log_5x = 3$，则$x = 125$。
经检验$x = \frac{1}{5}$和$x = 125$都是原方程的解。
综上，答案依次为：（1）$x = - 1$；（2）$x = 6$；（3）$x = 4$；（4）$x = \frac{1}{5}$或$x = 125$。