《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 5 已知向量 $ \boldsymbol{a}=(2,0),\boldsymbol{b}=(2,1) $。
(1) 当 $ k $ 为何值时，$ k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ 与 $ \boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b} $ 共线？
(2) 若 $ \overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b},\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{a}-m\boldsymbol{b} $，且 $ A,B,C $ 三点共线，求 $ m $ 的值。

答案：
(1) 因为$\boldsymbol{a}=(2,0)$，$\boldsymbol{b}=(2,1)$，所以$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2k + 2, 0× k + 1)=(2k + 2,1)$，$\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=(2 - 2×2, 0 - 2×1)=(2 - 4, 0 - 2)=(-2,-2)$。
由于$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$共线，根据向量共线的坐标表示，若向量$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$共线，则$x_1y_2 - x_2y_1 = 0$，可得：
$(2k + 2)×(-2)-(-2)×1 = 0$
$-4k - 4 + 2 = 0$
$-4k - 2 = 0$
$-4k = 2$
解得$k=-\frac{1}{2}$。
(2) 因为$\boldsymbol{a}=(2,0)$，$\boldsymbol{b}=(2,1)$，所以$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}=(2 + 3×2, 0 + 3×1)=(2 + 6, 0 + 3)=(8,3)$，$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{a}-m\boldsymbol{b}=(2 - m×2, 0 - m×1)=(2 - 2m,-m)$。
因为$A$，$B$，$C$三点共线，所以$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$共线，由向量共线的坐标表示可得：
$8×(-m)-3×(2 - 2m)=0$
$-8m - 6 + 6m = 0$
$-2m - 6 = 0$
$-2m = 6$
解得$m=-3$。
综上，
(1)$k=-\frac{1}{2}$；
(2)$m=-3$。

例 6 (1)(北京卷)已知向量 $ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} $ 满足 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2,3),\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(-2,1) $，则 $ |\boldsymbol{a}|^2 - |\boldsymbol{b}|^2= $(B)
A. $ -2 $
B. $ -1 $
C. $ 0 $
D. $ 1 $
(2) 已知向量 $ \boldsymbol{a}=(2,-3),\boldsymbol{b}=(m,1) $，若 $ |\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}| $，则 $ m= $(A)
A. $ \frac{3}{2} $
B. $ -\frac{3}{2} $
C. $ \frac{2}{3} $
D. $ -\frac{2}{3} $
(3) 已知向量 $ \boldsymbol{a}=(2,3),\boldsymbol{b}=(2t,-1) $，若 $ \boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b} $，则 $ |\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}|= $$\sqrt{26}$。

答案：
(1)
已知$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2,3)$，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(-2,1)$，根据平方差公式$\vert\boldsymbol{a}\vert^{2}-\vert\boldsymbol{b}\vert^{2}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$，可得：
$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=2×(-2)+3×1=-4 + 3=-1$。
所以答案选B。
(2)
已知$\boldsymbol{a}=(2,-3)$，$\boldsymbol{b}=(m,1)$，则$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=(2 + 2m,-1)$，$\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=(2 - 2m,-5)$。
因为$\vert\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}\vert=\vert\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}\vert$，所以$\vert\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}\vert^{2}=\vert\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}\vert^{2}$，即$(2 + 2m)^{2}+(-1)^{2}=(2 - 2m)^{2}+(-5)^{2}$。
展开得$4 + 8m+4m^{2}+1=4 - 8m+4m^{2}+25$。
化简：
$8m + 5=-8m+29$，
$16m=24$，
解得$m = \frac{3}{2}$。
所以答案选A。
(3)
因为$\boldsymbol{a}=(2,3)$，$\boldsymbol{b}=(2t,-1)$且$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，所以$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0$，即$2×2t+3×(-1)=0$，$4t-3 = 0$，解得$t=\frac{3}{4}$。
则$\boldsymbol{b}=(\frac{3}{2},-1)$，$2\boldsymbol{b}=(3,-2)$，$\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=(2 - 3,3-(-2))=(-1,5)$。
所以$\vert\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{(-1)^{2}+5^{2}}=\sqrt{1 + 25}=\sqrt{26}$。
综上，答案依次为：
(1)B；
(2)A；
(3)$\sqrt{26}$。