《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题2 事件的关系和运算
例 2 在掷骰子试验中，根据骰子朝上面的点数，可以定义许多事件。如 $ A = \{ 点数为 1 \} $，$ B = \{ 点数为 3 或 4 \} $，$ C = \{ 点数为奇数 \} $，$ D = \{ 点数为偶数 \} $。
(1) 说明以上 4 个事件的关系；
(2) 求 $ A \cap B $，$ A \cup B $，$ A \cup D $，$ B \cap D $，$ B \cup C $。

答案： 解：
(1)
$A$ 的点数集合为 $\{1\}$，$C$ 的点数集合为 $\{1, 3, 5\}$，所以 $A \subseteq C$；
$A$ 与 $B$（点数为 3 或 4）没有交集，所以 $A$ 与 $B$ 为互斥事件；
$A$ 与 $D$（点数为偶数）没有交集，所以 $A$ 与 $D$ 为互斥事件；
$B \cap C$ 的点数集合为 $\{3\}$，即点数为 3；
$B \cap D$ 的点数集合为 $\{4\}$，即点数为 4；
$C$ 与 $D$ 的点数集合完全不重叠，且覆盖所有可能，所以 $C$ 与 $D$ 为对立事件。
(2)
$A \cap B = \varnothing$（因为 $A$ 和 $B$ 没有共同点数）；
$A \cup B = \{1, 3, 4\}$（$A$ 和 $B$ 所有可能的点数）；
$A \cup D = \{1, 2, 4, 6\}$（$A$ 和 $D$ 所有可能的点数）；
$B \cap D = \{4\}$（$B$ 和 $D$ 的共同点数）；
$B \cup C = \{1, 3, 4, 5\}$（$B$ 和 $C$ 所有可能的点数）。

母题3 古典概型的概率计算 6年15考
例 3 一个盒子里装有标号为 1，2，3，4 的四张标签，随机地依次选取两张标签。
(1) 若标签的选取是无放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率；
(2) 若标签的选取是有放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率。

答案：
(1)
无放回选取时，样本空间$\Omega_1$包含的样本点为$(1,2)$，$(1,3)$，$(1,4)$，$(2,1)$，$(2,3)$，$(2,4)$，$(3,1)$，$(3,2)$，$(3,4)$，$(4,1)$，$(4,2)$，$(4,3)$，共$n_1 = 12$种。
设“两张标签上的数字为相邻整数”为事件$A$，事件$A$包含的样本点为$(1,2)$，$(2,1)$，$(2,3)$，$(3,2)$，$(3,4)$，$(4,3)$，共$m_1 = 6$种。
则$P(A)=\frac{m_1}{n_1}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(2)
有放回选取时，样本空间$\Omega_2$包含的样本点为$(1,1)$，$(1,2)$，$(1,3)$，$(1,4)$，$(2,1)$，$(2,2)$，$(2,3)$，$(2,4)$，$(3,1)$，$(3,2)$，$(3,3)$，$(3,4)$，$(4,1)$，$(4,2)$，$(4,3)$，$(4,4)$，共$n_2 = 16$种。
设“两张标签上的数字为相邻整数”为事件$B$，事件$B$包含的样本点同
(1)中为$m_2 = 6$种。
则$P(B)=\frac{m_2}{n_2}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。