《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例3 已知 $\sin(3\pi - \alpha) = \sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{2} - \beta)$，$\sqrt{3}\cos(-\alpha) = -\sqrt{2}\cos(\pi + \beta)$，$\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，$\beta \in (0, \pi)$，求 $\alpha$，$\beta$。

答案： 解：由诱导公式，得
$\begin{cases} \sin \alpha = \sqrt{2}\sin \beta, & ① \\\sqrt{3}\cos \alpha = \sqrt{2}\cos \beta. & ② \end{cases}$
$①^2 + ②^2$，得$\sin^2 \alpha + 3\cos^2 \alpha = 2$。
$\because \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$，
$\therefore 1 + 2\cos^2 \alpha = 2 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\because \alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，
$\therefore \alpha = \frac{\pi}{4}$或$\alpha = -\frac{\pi}{4}$。
当$\alpha = \frac{\pi}{4}$时，代入②：$\sqrt{3}\cos \frac{\pi}{4} = \sqrt{2}\cos \beta \Rightarrow \cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
$\because \beta \in (0, \pi)$，$\therefore \beta = \frac{\pi}{6}$。
代入①检验：$\sin \frac{\pi}{4} = \sqrt{2}\sin \frac{\pi}{6} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，成立。
当$\alpha = -\frac{\pi}{4}$时，代入②：$\sqrt{3}\cos(-\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\cos \beta \Rightarrow \cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \beta = \frac{\pi}{6}$。
代入①检验：$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \neq \sqrt{2}\sin \frac{\pi}{6}$，舍去。
综上，$\alpha = \frac{\pi}{4}$，$\beta = \frac{\pi}{6}$。

母题2 利用诱导公式化简 5年1考
例4 化简：
(1) $\frac{\sin(540^{\circ} + \alpha)\cos(-\alpha)}{\tan(\alpha - 180^{\circ})}$；
(2) $\frac{\tan(2\pi - \alpha)\sin(-2\pi - \alpha)\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\alpha - \pi)\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}$。
(1)
原式$=\frac{\sin(540^{\circ}+\alpha)\cos(-\alpha)}{\tan(\alpha - 180^{\circ})}$
$=\frac{\sin(360^{\circ}+180^{\circ}+\alpha)\cos\alpha}{\tan\alpha}$
$=\frac{-\sin\alpha\cos\alpha}{\tan\alpha}$
$=\frac{-\sin\alpha\cos\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}$
$=-\cos^{2}\alpha$
(2)
原式$=\frac{\tan(2\pi - \alpha)\sin(-2\pi - \alpha)\sin(\frac{3\pi}{2}+\alpha)}{\sin(\alpha - \pi)\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}$
$=\frac{-\tan\alpha·(-\sin\alpha)·(-\cos\alpha)}{-\sin\alpha·(-\sin\alpha)}$
$=\frac{-\tan\alpha\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha}$
$=-\frac{\tan\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}$
$=-\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}·\cos\alpha}{\sin\alpha}$
$=-1$

答案：
(1)
原式$=\frac{\sin(540^{\circ}+\alpha)\cos(-\alpha)}{\tan(\alpha - 180^{\circ})}$
$=\frac{\sin(360^{\circ}+180^{\circ}+\alpha)\cos\alpha}{\tan\alpha}$
$=\frac{-\sin\alpha\cos\alpha}{\tan\alpha}$
$=\frac{-\sin\alpha\cos\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}$
$=-\cos^{2}\alpha$
(2)
原式$=\frac{\tan(2\pi - \alpha)\sin(-2\pi - \alpha)\sin(\frac{3\pi}{2}+\alpha)}{\sin(\alpha - \pi)\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}$
$=\frac{-\tan\alpha·(-\sin\alpha)·(-\cos\alpha)}{-\sin\alpha·(-\sin\alpha)}$
$=\frac{-\tan\alpha\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha}$
$=-\frac{\tan\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}$
$=-\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}·\cos\alpha}{\sin\alpha}$
$=-1$