《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

已知在空间直角坐标系中，$ \triangle ABC $ 的三个顶点的坐标分别为 $ A(1,1,0) $，$ B(0,1,3) $，$ C(2,5,1) $，则 $ BC $ 边上中线的长为2√2。

答案： $2\sqrt{2}$

母题 1 空间向量运算的坐标表示
例 1 (1) 已知 $ a = (2,3,-1) $，$ b = (-2,1,4) $，$ c = (2,\lambda,2) $。若 $ a,b,c $ 三个向量共面，则实数 $ \lambda = $(7)
A.4
B.5
C.6
D.7

答案：
(1)
已知$\vec{a}=(2,3, - 1)$，$\vec{b}=(-2,1,4)$，$\vec{c}=(2,\lambda,2)$，因为$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$三个向量共面，所以设$\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$，则$(2,\lambda,2)=(2m,3m,-m)+(-2n,n,4n)$，即$\begin{cases}2 = 2m-2n\\\lambda = 3m + n\\2=-m + 4n\end{cases}$
由$2 = 2m-2n$可得$m - n = 1$，由$2=-m + 4n$可得$m=4n - 2$，将$m = 4n - 2$代入$m - n = 1$得：
$4n-2 - n=1$，$3n=3$，解得$n = 1$，则$m=4×1 - 2=2$，所以$\lambda=3×2+1=7$。
答案为D。

(2) 已知在空间直角坐标系 $ Oxyz $ 中，$ \overrightarrow{OA} = (1,2,3) $，$ \overrightarrow{OB} = (2,1,2) $，$ \overrightarrow{OP} = (1,1,2) $，点 $ Q $ 在直线 $ OP $ 上运动，则当 $ \overrightarrow{QA} · \overrightarrow{QB} $ 取得最小值时，点 $ Q $ 的坐标为(C)
A.$ (\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{1}{3}) $
B.$ (\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{4}) $
C.$ (\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{8}{3}) $
D.$ (\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{3}) $

答案： @@
(2)
因为点$Q$在直线$OP$上运动，所以$\overrightarrow{OQ}//\overrightarrow{OP}$，设$\overrightarrow{OQ}=t\overrightarrow{OP}=(t,t,2t)$，则$Q(t,t,2t)$。
已知$\overrightarrow{OA}=(1,2,3)$，$\overrightarrow{OB}=(2,1,2)$，所以$A(1,2,3)$，$B(2,1,2)$，$\overrightarrow{QA}=(1 - t,2 - t,3 - 2t)$，$\overrightarrow{QB}=(2 - t,1 - t,2 - 2t)$。
$\overrightarrow{QA}·\overrightarrow{QB}=(1 - t)(2 - t)+(2 - t)(1 - t)+(3 - 2t)(2 - 2t)$
$=2(1 - t)^{2}+(3 - 2t)(2 - 2t)=2(1 - 2t+t^{2})+6 - 6t - 4t + 4t^{2}$
$=2 - 4t+2t^{2}+6 - 10t + 4t^{2}=6t^{2}-16t + 10=6(t-\frac{4}{3})^{2}-\frac{2}{3}$。
当$t=\frac{4}{3}$时，$\overrightarrow{QA}·\overrightarrow{QB}$取得最小值，此时点$Q$的坐标为$(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{8}{3})$。
答案为C。