《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题1 复数的四则运算 5年41考
例1 计算：
1. $ |(3 + 4i)(12 + 5i)| $；
2. $ (1 + i)^6 + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} - \sqrt{2}i} $。

答案： 1. $(3 + 4i)(12 + 5i) = 36 + 15i + 48i + 20i^2 = 36 + 63i - 20 = 16 + 63i$，$|(3 + 4i)(12 + 5i)| = \sqrt{16^2 + 63^2} = \sqrt{4225} = 65$。
2. $(1 + i)^6 = [(1 + i)^2]^3 = (2i)^3 = -8i$；$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} - \sqrt{2}i} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}i)(\sqrt{3} + \sqrt{2}i)}{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{6} + 2i + 3i + \sqrt{6}i^2}{5} = \frac{5i}{5} = i$；原式$= -8i + i = -7i$。

母题2 复数范围内方程的解
例2
1. 若方程 $ x^2 + (4 + i)x + 4 + ai = 0 $($ a \in \mathbf{R} $)有实根 $ b $，且 $ z = a + bi $，则复数 $ z = $(A)
A. $ 2 - 2i $
B. $ 2 + 2i $
C. $ -2 + 2i $
D. $ -2 - 2i $
2. (多选)已知复数 $ z_1,z_2 $ 是关于 $ z $ 的方程 $ 3z^2 - az + b = 0 $($ a,b \in \mathbf{R},a ＞ 0 $)的两个复数根，且 $ z_1z_2 = \frac{1}{3} $，$ z_1^2 + z_2^2 = -\frac{2}{9} $，则(ACD)
A. $ z_1 $ 与 $ z_2 $ 互为共轭复数
B. $ a - b = 2 $
C. $ a^2 + b^2 = 5 $
D. $ |z_1^2 - z_2^2| = \frac{4\sqrt{2}}{9} $

答案： 1. A
2. ACD