《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

判断数列的单调性的方法
（1）作差比较法：$a_{n + 1} - a_{n} ＞ 0\Leftrightarrow$数列$\{ a_{n}\}$是递增数列；$a_{n + 1} - a_{n} ＜ 0\Leftrightarrow$数列$\{ a_{n}\}$是递减数列；$a_{n + 1} - a_{n} = 0\Leftrightarrow$数列$\{ a_{n}\}$是常数列。
（2）作商比较法：①当$a_{n} ＞ 0$时，$\dfrac {a_{n + 1}}{a_{n}} ＞ 1\Leftrightarrow$数列$\{ a_{n}\}$是递增数列；$\dfrac {a_{n + 1}}{a_{n}} ＜ 1\Leftrightarrow$数列$\{ a_{n}\}$是递减数列；$\dfrac {a_{n + 1}}{a_{n}} = 1\Leftrightarrow$数列$\{ a_{n}\}$是常数列。
②当$a_{n} ＜ 0$时，$\dfrac {a_{n + 1}}{a_{n}} ＞ 1\Leftrightarrow$数列$\{ a_{n}\}$是递减数列；$\dfrac {a_{n + 1}}{a_{n}} ＜ 1\Leftrightarrow$数列$\{ a_{n}\}$是递增数列；$\dfrac {a_{n + 1}}{a_{n}} = 1\Leftrightarrow$数列$\{ a_{n}\}$是常数列。

答案： （1）作差比较法：计算$a_{n + 1} - a_{n}$，若结果大于$0$，则数列递增；若小于$0$，则数列递减；若等于$0$，则为常数列。
（2）作商比较法：①当$a_{n} ＞ 0$时，计算$\dfrac{a_{n + 1}}{a_{n}}$，大于$1$递增，小于$1$递减，等于$1$常数列；②当$a_{n} ＜ 0$时，计算$\dfrac{a_{n + 1}}{a_{n}}$，大于$1$递减，小于$1$递增，等于$1$常数列。

母题4 求数列的最大、最小项
例6(1)数列$\{ a_{n}\}$的通项公式是$a_{n} = \dfrac {n - \sqrt {97}}{n - \sqrt {98}}$，则该数列中的最大项和最小项依次为(B)
A. $a_{9}$，$a_{10}$
B. $a_{10}$，$a_{9}$
C. $a_{11}$，$a_{10}$
D. $a_{9}$，$a_{8}$
(2)数列$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$满足：$a_{1} = 8$，$a_{n} - a_{n - 1} = 8n(n\in \mathbf{N}^{*},n\geqslant 2)$，$b_{n} = \sqrt {a_{n} + 1}\left(\dfrac {9}{10}\right)^{n}$，则数列$\{ b_{n}\}$的最大项是(B)
A. 第$7$项
B. 第$9$项
C. 第$11$项
D. 第$12$项
解析(1)因为$a_{n} = \dfrac {n - \sqrt {97}}{n - \sqrt {98}} = \dfrac {n - \sqrt {98} + \sqrt {98} - \sqrt {97}}{n - \sqrt {98}} = 1 + \dfrac {\sqrt {98} - \sqrt {97}}{n - \sqrt {98}}$，$n\in \mathbf{N}^{*}$，所以当$n\geqslant 10$时，$a_{n} ＞ 1$，且随着$n$的增大，$a_{n}$减小，故$a_{10}$为最大项；
当$n\leqslant 9$时，$a_{n} ＜ 1$，且随着$n$的增大，$a_{n}$减小，故$a_{9}$为最小项。
(2)当$n\geqslant 2$时，$a_{n} - a_{n - 1} = 8n$，$·s$，$a_{2} - a_{1} = 16$。将上式累加，得$a_{n} - a_{1} = 8× (2 + 3 + ·s + n) = 8× \left[\dfrac {(n + 2)× (n - 1)}{2}\right] = (4n + 8)(n - 1)$，解得$a_{n} = 4n^{2} + 4n(n\in \mathbf{N}^{*},n\geqslant 2)$。$a_{1} = 8$也符合上式，故$b_{n} = (2n + 1)\left(\dfrac {9}{10}\right)^{n}$。
令$\begin{cases} b_{k}\geqslant b_{k - 1}, \\ b_{k}\geqslant b_{k + 1}, \end{cases}$
即$\begin{cases} (2k + 1)\left(\dfrac {9}{10}\right)^{k}\geqslant (2k - 1)\left(\dfrac {9}{10}\right)^{k - 1}, \\ (2k + 1)\left(\dfrac {9}{10}\right)^{k}\geqslant (2k + 3)\left(\dfrac {9}{10}\right)^{k + 1}, \end{cases}$
解得$\dfrac {17}{2}\leqslant k\leqslant \dfrac {19}{2}$，$k\in \mathbf{N}^{*}$，故$k = 9$，即第$9$项最大。
答案(1)B (2)B

答案：
(1)
$a_{n}=\frac{n - \sqrt{97}}{n - \sqrt{98}}=\frac{n - \sqrt{98}+\sqrt{98}-\sqrt{97}}{n - \sqrt{98}} = 1+\frac{\sqrt{98}-\sqrt{97}}{n - \sqrt{98}}$，$n\in N^{*}$。
当$n\geqslant10$时，$y = n - \sqrt{98}$单调递增，$\frac{\sqrt{98}-\sqrt{97}}{n - \sqrt{98}}$单调递减，$a_{n}$单调递减，$a_{n}＞1$，所以$a_{10}$最大。
当$n\leqslant9$时，$y = n - \sqrt{98}$单调递增，$\frac{\sqrt{98}-\sqrt{97}}{n - \sqrt{98}}$单调递增，$a_{n}$单调递减，$a_{n}＜1$，所以$a_{9}$最小。
最大项和最小项依次为$a_{10}$，$a_{9}$，答案选B。
(2)
当$n\geqslant2$时，$a_{n}-a_{n - 1}=8n$，$a_{2}-a_{1}=16$，$a_{3}-a_{2}=24$，$·s$，$a_{n}-a_{n - 1}=8n$。
累加得$a_{n}-a_{1}=8×(2 + 3+·s+n)=8×\frac{(n + 2)(n - 1)}{2}=4n^{2}+4n - 8$，$a_{n}=4n^{2}+4n$，$n = 1$时，$a_{1}=8$符合，所以$a_{n}=4n^{2}+4n$，$n\in N^{*}$。
$b_{n}=\sqrt{a_{n}+1}\left(\frac{9}{10}\right)^{n}=(2n + 1)\left(\frac{9}{10}\right)^{n}$。
由$\begin{cases}b_{k}\geqslant b_{k - 1}\\b_{k}\geqslant b_{k + 1}\end{cases}$，即$\begin{cases}(2k + 1)\left(\frac{9}{10}\right)^{k}\geqslant(2k - 1)\left(\frac{9}{10}\right)^{k - 1}\\2k + 1)\left(\frac{9}{10}\right)^{k}\geqslant(2k + 3)\left(\frac{9}{10}\right)^{k + 1}\end{cases}$。
解得$\frac{17}{2}\leqslant k\leqslant\frac{19}{2}$，$k\in N^{*}$，所以$k = 9$，即第$9$项最大，答案选B。