《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 8 如图，已知四棱柱 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 的底面 $ ABCD $ 是菱形，$ \angle C_1CB = \angle C_1CD = \angle BCD = 60^{\circ} $，且 $ C_1C = CD = 1 $。
(1) 试用 $ \overrightarrow{CD} $，$ \overrightarrow{CB} $，$ \overrightarrow{CC_1} $ 表示 $ \overrightarrow{CA_1} $，并求 $ |\overrightarrow{CA_1}| $。
(2) 求证：$ CC_1 \perp BD $。
(3) 试判断直线 $ A_1C $ 与平面 $ C_1BD $ 是否垂直。若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由。

答案：
(1) 解：$\overrightarrow{CA_1} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC_1}$。
$|\overrightarrow{CA_1}|^2 = (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC_1})^2 = |\overrightarrow{CD}|^2 + |\overrightarrow{CB}|^2 + |\overrightarrow{CC_1}|^2 + 2\overrightarrow{CD} · \overrightarrow{CB} + 2\overrightarrow{CD} · \overrightarrow{CC_1} + 2\overrightarrow{CB} · \overrightarrow{CC_1}$。
由底面$ABCD$是菱形，$CD=CB=1$，$\angle BCD=60°$，得$\overrightarrow{CD} · \overrightarrow{CB} = 1 × 1 × \cos60° = \frac{1}{2}$。同理，$\overrightarrow{CD} · \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{CB} · \overrightarrow{CC_1} = \frac{1}{2}$。
则$|\overrightarrow{CA_1}|^2 = 1 + 1 + 1 + 2 × \frac{1}{2} + 2 × \frac{1}{2} + 2 × \frac{1}{2} = 6$，故$|\overrightarrow{CA_1}| = \sqrt{6}$。
(2) 证明：方法1：$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB}$，
$\overrightarrow{CC_1} · \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CC_1} · \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CC_1} · \overrightarrow{CB}$。
由$\angle C_1CD = \angle C_1CB = 60°$，$C_1C=CD=CB=1$，得$\overrightarrow{CC_1} · \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CC_1} · \overrightarrow{CB} = \frac{1}{2}$。
故$\overrightarrow{CC_1} · \overrightarrow{BD} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$，所以$\overrightarrow{CC_1} \perp \overrightarrow{BD}$，即$CC_1 \perp BD$。
方法2：连接$AC$交$BD$于$O$，连接$C_1O$。
因$C_1C=CD$，$\angle C_1CD=60°$，$\triangle C_1CD$为等边三角形，$C_1D=1$。同理$C_1B=1$，$BD=1$，故$\triangle C_1BD$为等边三角形，$C_1O \perp BD$。
又菱形$ABCD$中$CO \perp BD$，且$C_1O \cap CO = O$，$C_1O, CO \subset$平面$C_1OC$，则$BD \perp$平面$C_1OC$。
又$CC_1 \subset$平面$C_1OC$，故$BD \perp CC_1$，即$CC_1 \perp BD$。
(3) 直线$A_1C$与平面$C_1BD$垂直。证明如下：
$\overrightarrow{CA_1} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC_1}$，$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB}$，
$\overrightarrow{CA_1} · \overrightarrow{BD} = |\overrightarrow{CD}|^2 - |\overrightarrow{CB}|^2 + \overrightarrow{CC_1} · \overrightarrow{BD} = 1 - 1 + 0 = 0$（由
(2)知$\overrightarrow{CC_1} · \overrightarrow{BD}=0$），故$A_1C \perp BD$。
同理，$\overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{CC_1} - \overrightarrow{CB}$，
$\overrightarrow{CA_1} · \overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{CD} · \overrightarrow{CC_1} - \overrightarrow{CD} · \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CB} · \overrightarrow{CC_1} - |\overrightarrow{CB}|^2 + |\overrightarrow{CC_1}|^2 - \overrightarrow{CC_1} · \overrightarrow{CB} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 + 1 - \frac{1}{2} = 0$，故$A_1C \perp BC_1$。
因$BD \cap BC_1 = B$，$BD, BC_1 \subset$平面$C_1BD$，所以$A_1C \perp$平面$C_1BD$。