《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 2 建立三角函数模型求解实际问题 5年2考
例 2 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 $ (ABCD) $ 的池底水平铺设污水净化管道 $ (Rt\triangle FHE, H $ 是直角顶点) 来处理污水，管道越长，污水净化效果越好。设计要求管道的接口 $ H $ 是 $ AB $ 的中点，$ E,F $ 分别落在线段 $ BC,AD $ 上。已知 $ AB = 20m, AD = 10\sqrt{3}m $，记 $ \angle BHE = \theta $。
(1) 试将污水净化管道的长度 $ L $ 表示为 $ \theta $ 的函数，并写出定义域。
(2) 若 $ \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} $，求此时管道的长度 $ L $。

(3) 当 $ \theta $ 取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度。

答案：
(1) 在$Rt\triangle BHE$中，$EH=\frac{10}{\cos\theta}$，$BE=10\tan\theta$；在$Rt\triangle AHF$中，$FH=\frac{10}{\sin\theta}$，$AF=\frac{10}{\tan\theta}$。由勾股定理得$EF=\frac{10}{\sin\theta\cos\theta}$。
由$BE\leq10\sqrt{3}$，$AF\leq10\sqrt{3}$，得$\tan\theta\in\left[\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\right]$，即$\theta\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right]$。
$\therefore L=\frac{10}{\cos\theta}+\frac{10}{\sin\theta}+\frac{10}{\sin\theta\cos\theta}$，$\theta\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right]$。
(2) 由$\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}$，得$\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}$。
$\therefore L=\frac{10(\sin\theta+\cos\theta+1)}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{10(\sqrt{2}+1)}{\frac{1}{2}}=20(\sqrt{2}+1)\ m$。
(3) 设$t=\sin\theta+\cos\theta$，则$\sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}{2}$，$t\in\left[\frac{1+\sqrt{3}}{2},\sqrt{2}\right]$。
$L=\frac{20}{t-1}$，在$t\in\left[\frac{1+\sqrt{3}}{2},\sqrt{2}\right]$上单调递减。
当$t=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$时，$\theta=\frac{\pi}{6}$或$\frac{\pi}{3}$，$L_{max}=20(\sqrt{3}+1)\ m$。
答：当$\theta=\frac{\pi}{6}$或$\frac{\pi}{3}$时，污水净化效果最好，此时管道长度为$20(\sqrt{3}+1)\ m$。