《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

在等差数列 $\{ a_{n}\}$ 中，$a_{3}+a_{4}+a_{5}=12,a_{1}+a_{3}+a_{6}=18$，则 $\{ a_{n}\}$ 的公差是-3。
答案：-3

答案： -3

《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus) 是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每个人所得面包个数成等差数列，则最多一份与最少一份的和为40。
答案：40

答案： 40

母题 1 等差数列基本量的计算 5 年 2 考
例 1 (1) 在等差数列 $\{ a_{n}\}$ 中，$a_{2}=1$，$a_{5}+a_{7}=18$，则 $\{ a_{n}\}$ 的公差为(B)
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
(2) 已知等差数列 $\{ a_{n}\}$ 前三项的和为 $-3$，前三项的积为 8，则等差数列 $\{ a_{n}\}$ 的通项公式为$a_{n}=-3n + 5$ 或 $a_{n}=3n - 7$。
(3) 在等差数列 $\{ a_{n}\}$ 中，$a_{3}=5,a_{5}=11,a_{n}=56$，求 $n$ 及公差 $d$。
解：(1) 设等差数列 $\{ a_{n}\}$ 的公差为 $d$。
因为 $a_{2}=1,a_{5}+a_{7}=18$，
所以 $\begin{cases}a_{1}+d = 1,\\a_{1}+4d+a_{1}+6d = 18,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a_{1}=-1,\\d = 2.\end{cases}$ 故选 B。
(2) 设等差数列 $\{ a_{n}\}$ 的公差为 $d$，则 $a_{2}=a_{1}+d,a_{3}=a_{1}+2d$。
由题意，得 $\begin{cases}3a_{1}+3d=-3,\\a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)=8,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a_{1}=2,\\d=-3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a_{1}=-4,\\d = 3,\end{cases}$ 所以等差数列 $\{ a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2-3(n - 1)=-3n + 5$ 或 $a_{n}=-4+3(n - 1)=3n - 7$。
故答案为 $a_{n}=-3n + 5$ 或 $a_{n}=3n - 7$。
(3) 由题意，得 $\begin{cases}a_{1}+2d = 5,\\a_{1}+4d = 11,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a_{1}=-1,\\d = 3.\end{cases}$
因为 $\{ a_{n}\}$ 是等差数列，所以 $a_{n}=a_{1}+(n - 1)d=-1+3(n - 1)=56$，
解得 $n = 20$。

答案：
(1)设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，
因为$a_{2} = 1$，$a_{5}+a_{7}=18$，
所以$\begin{cases}a_{1}+d = 1,\\a_{1}+4d+a_{1}+6d = 18,\end{cases}$
即$\begin{cases}a_{1}+d = 1,\\2a_{1}+10d = 18,\end{cases}$
由$a_{1}+d = 1$可得$a_{1}=1 - d$，将其代入$2a_{1}+10d = 18$得：
$2(1 - d)+10d = 18$，
$2 - 2d+10d = 18$，
$8d = 16$，
解得$d = 2$。
故选B。
(2)设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，则$a_{2}=a_{1}+d$，$a_{3}=a_{1}+2d$。
由题意，得$\begin{cases}3a_{1}+3d=-3,\\a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)=8,\end{cases}$
由$3a_{1}+3d=-3$可得$a_{1}+d=-1$，即$d=-1 - a_{1}$，
将其代入$a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)=8$得：
$a_{1}×(-1)×(a_{1}+2(-1 - a_{1}))=8$，
$-a_{1}(a_{1}-2 - 2a_{1})=8$，
$-a_{1}(-a_{1}-2)=8$，
$a_{1}^{2}+2a_{1}-8 = 0$，
$(a_{1}+4)(a_{1}-2)=0$，
解得$a_{1}=2$或$a_{1}=-4$。
当$a_{1}=2$时，$d=-3$；当$a_{1}=-4$时，$d = 3$。
所以等差数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=2-3(n - 1)=-3n + 5$或$a_{n}=-4+3(n - 1)=3n - 7$。
(3)由题意，得$\begin{cases}a_{1}+2d = 5,\\a_{1}+4d = 11,\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：
$(a_{1}+4d)-(a_{1}+2d)=11 - 5$，
$2d = 6$，
解得$d = 3$。
把$d = 3$代入$a_{1}+2d = 5$得：
$a_{1}+2×3 = 5$，
$a_{1}=-1$。
因为$\{ a_{n}\}$是等差数列，所以$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d=-1+3(n - 1)$，
又因为$a_{n}=56$，所以$-1+3(n - 1)=56$，
$3(n - 1)=57$，
$n - 1 = 19$，
解得$n = 20$。
综上，答案依次为：
(1)B；
(2)$a_{n}=-3n + 5$或$a_{n}=3n - 7$；
(3)$n = 20$，$d = 3$。