《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例3如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=$\frac{π}{3}$,D是边BC的中点,CE⊥AB于点E,AD与CE交于点F.

(1)求CE和AD的长;
(2)求cos∠CFD的值.

答案： 解：
(1)
∵CE⊥AB，
∴在Rt△AEC中，AC=2，∠EAC=π/3，
CE=AC·sin∠EAC=2×√3/2=√3.
∵D是BC中点，
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，
$|\overrightarrow{AD}|^2=\frac{1}{4}(|\overrightarrow{AB}|^2+2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}+|\overrightarrow{AC}|^2)=\frac{1}{4}(3^2+2×3×2×cos\frac{π}{3}+2^2)=\frac{19}{4}$，
∴AD=√19/2.
(2) 方法1：AE=AC·cosπ/3=1=1/3AB，$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{EC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})·(\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}(2^2+\frac{2}{3}×3×2×cos\frac{π}{3}-\frac{1}{3}×3^2)=\frac{3}{2}$，
$cos∠CFD=\frac{\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{EC}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{EC}|}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{19}}{2}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{57}}{19}$.
方法2：过D作DG//CE交BE于G，
∵D是BC中点，
∴G是BE中点，
AE=EG=GB=1，EF=1/4CE=√3/4，AF=1/2AD=√19/4，
$cos∠CFD=cos∠AFE=\frac{EF}{AF}=\frac{\sqrt{3}/4}{\sqrt{19}/4}=\frac{\sqrt{57}}{19}$.

母题2 向量在物理中的应用
例4如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受的拉力为F1.
(1)判断|F1|,|F2|随θ的变化而变化的情况;

(2)当|F1|≤2|G|时,求θ的取值范围.

答案：
(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，知$-G=F_{1}+F_{2}$.根据直角三角形，得$|F_{1}|=\frac{|G|}{\cos\theta}$，$|F_{2}|=|G|\tan\theta$.当$\theta$从$0^{\circ}$趋近$90^{\circ}$时，$|F_{1}|$，$|F_{2}|$都逐渐增大.
(2)令$|F_{1}|=\frac{|G|}{\cos\theta}\leq2|G|$.因为$0^{\circ}\leq\theta＜90^{\circ}$，所以$\cos\theta\geq\frac{1}{2}$，所以$0^{\circ}\leq\theta\leq60^{\circ}$.故$\theta$的取值范围为$0^{\circ}\leq\theta\leq60^{\circ}$.