《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

(天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 $ \frac{1}{2} $ 和 $ \frac{1}{3} $。假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 $\frac{1}{6}$；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 $\frac{2}{3}$。

答案： $\frac{1}{6}$；$\frac{2}{3}$

某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立。已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 $ 0.6 $，$ 0.5 $，$ 0.4 $，则该棋手三盘三胜的概率为 0.12。

答案： $0.12$（由于是填空题目，此处按照要求将答案格式要求进行适配，答案写为具体数值）

典例 判断下列各对事件是不是相互独立事件。
(1) 甲组有 $ 3 $ 名男生，$ 2 $ 名女生；乙组有 $ 2 $ 名男生，$ 3 $ 名女生。现从甲、乙两组中各选 $ 1 $ 名学生参加演讲比赛，“从甲组中选出 $ 1 $ 名男生”与“从乙组中选出 $ 1 $ 名女生”。
(2) 容器内盛有大小、质地完全相同的 $ 5 $ 个白球和 $ 3 $ 个黄球，“从 $ 8 $ 个球中任意取出 $ 1 $ 个，取出的是白球”与“从剩下的 $ 7 $ 个球中任意取出 $ 1 $ 个，取出的还是白球”。
(3) 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚硬币正面朝上”与“两枚硬币结果相同”。

答案：
(1) “从甲组中选出1名男生”的发生与否不影响“从乙组中选出1名女生”的概率，是相互独立事件。
(2) “从8个球中取出1个白球”发生时，“从剩下7个球中取出白球”的概率为$\frac{4}{7}$；不发生时，该概率为$\frac{5}{7}$，两者概率不同，不是相互独立事件。
(3) 设$A=$“第一枚硬币正面朝上”，$B=$“两枚硬币结果相同”，$P(A)=\frac{1}{2}$，$P(B)=\frac{1}{2}$，$P(AB)=\frac{1}{4}$，满足$P(AB)=P(A)P(B)$，是相互独立事件。