《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例2(1)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$\dfrac {a_{n + 1}}{a_{n}} = \dfrac {n + 1}{n}$，$a_{1} = 3$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式是(A)
A. $a_{n} = 3n$
B. $a_{n} = n + 2$
C. $a_{n} = 2n + 1$
D. $a_{n} = 3n^{2}$
(2)在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 3$，$a_{n + 1} = a_{n} + \dfrac {1}{n(n + 1)}$，则通项公式$a_{n} =$$4 - \dfrac{1}{n}$。
解析(1)由题意，得$\dfrac {a_{n + 1}}{n + 1} = \dfrac {a_{n}}{n}$，即$\dfrac {a_{n + 1}}{n + 1} = \dfrac {a_{n}}{n} = ·s = \dfrac {a_{2}}{2} = \dfrac {a_{1}}{1} = 3$，所以数列$\left\{ \dfrac {a_{n}}{n}\right\}$是以$\dfrac {a_{1}}{1} = 3$为首项的常数列，即$\dfrac {a_{n}}{n} = 3$，所以$a_{n} = 3n$。
(2)原递推公式可化为$a_{n + 1} = a_{n} + \dfrac {1}{n} - \dfrac {1}{n + 1}$，则$a_{2} = a_{1} + \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2}$，$a_{3} = a_{2} + \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{3}$，$a_{4} = a_{3} + \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{4}$，$·s$，$a_{n} = a_{n - 1} + \dfrac {1}{n - 1} - \dfrac {1}{n}$。
逐项相加，得$a_{n} = a_{1} + 1 - \dfrac {1}{n}$，故$a_{n} = 4 - \dfrac {1}{n}$。
答案(1)A (2)$4 - \dfrac {1}{n}$

答案：
(1)A
(2)$4 - \dfrac{1}{n}$

例3(1)已知$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，且$S_{n} = 2^{n + 1} - 1$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为(B)
A. $a_{n} = 2^{n}$
B. $a_{n} = \begin{cases} 3,n = 1, \\ 2^{n},n\geqslant 2 \end{cases}$
C. $a_{n} = 2^{n - 1}$
D. $a_{n} = 2^{n + 1}$
(2)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1} + \dfrac {a_{2}}{2} + \dfrac {a_{3}}{3} + ·s + \dfrac {a_{n}}{n} = 1 - \dfrac {1}{2^{n}}$，则$a_{n} =$(D)
A. $1 - \dfrac {1}{2^{n}}$
B. $\dfrac {2}{2^{n - 3}}$
C. $\dfrac {1}{2^{n}}$
D. $\dfrac {n}{2^{n}}$
解析(1)当$n\geqslant 2$时，$S_{n - 1} = 2^{n} - 1$，$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 2^{n + 1} - 1 - 2^{n} + 1 = 2^{n}$；
当$n = 1$时，$a_{1} = S_{1} = 2^{1 + 1} - 1 = 3$，不满足$a_{n} = 2^{n}$，所以$a_{n} = \begin{cases} 3,n = 1, \\ 2^{n},n\geqslant 2. \end{cases}$

(2)$a_{1} + \dfrac {a_{2}}{2} + \dfrac {a_{3}}{3} + ·s + \dfrac {a_{n}}{n} = 1 - \dfrac {1}{2^{n}}$。①
当$n\geqslant 2$时，
$a_{1} + \dfrac {a_{2}}{2} + \dfrac {a_{3}}{3} + ·s + \dfrac {a_{n - 1}}{n - 1} = 1 - \dfrac {1}{2^{n - 1}}$。②
①$-$②，得$\dfrac {a_{n}}{n} = \dfrac {1}{2^{n - 1}} - \dfrac {1}{2^{n}} = \dfrac {1}{2^{n}}$，
故$a_{n} = \dfrac {n}{2^{n}}(n\geqslant 2)$。
当$n = 1$时，$a_{1} = \dfrac {1}{2}$，也符合$a_{n} = \dfrac {n}{2^{n}}$。
答案(1)B (2)D

答案：
(1)
当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=2^{1 + 1}-1 = 3$。
当$n\geqslant2$时，$S_{n - 1}=2^{n}-1$，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=2^{n + 1}-1-(2^{n}-1)=2^{n}$。
所以$a_{n}=\begin{cases}3,n = 1,\\2^{n},n\geqslant2.\end{cases}$
答案选B。
(2)
已知$a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\frac{a_{3}}{3}+·s+\frac{a_{n}}{n}=1-\frac{1}{2^{n}}$ ①
当$n\geqslant2$时，$a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\frac{a_{3}}{3}+·s+\frac{a_{n - 1}}{n - 1}=1-\frac{1}{2^{n - 1}}$ ②
① - ②得：$\frac{a_{n}}{n}=\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)-\left(1-\frac{1}{2^{n - 1}}\right)=\frac{1}{2^{n}}$，所以$a_{n}=\frac{n}{2^{n}}(n\geqslant2)$。
当$n = 1$时，$a_{1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，符合$a_{n}=\frac{n}{2^{n}}$。
答案选D。