《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 4 垂直关系的综合应用与探究
例 6 如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，$PA\perp$ 底面正方形 $ABCD,E$ 为侧棱 $PD$ 的中点，$PA = AD = 2$。
(1)求四棱锥 $P - ABCD$ 的体积。
(2)在线段 $AB$ 上是否存在一点 $F$，使得平面 $PFC\perp$ 平面 $PCD$？若存在，请说明点 $F$ 的位置；若不存在，请说明理由。

答案：
(1) $V_{P-ABCD} = \frac{1}{3} S_{正方形ABCD} · PA = \frac{1}{3} × 2^2 × 2 = \frac{8}{3}$。
(2) 存在，$F$为线段$AB$的中点。
取$AB$的中点$F$，取$PC$的中点$G$，连接$EG, FG$。
$E, G$分别为$PD, PC$的中点，
所以$EG // CD$，$EG = \frac{1}{2}CD$。
$F$为$AB$的中点，
所以$AF // CD$，$AF = \frac{1}{2}CD$，
所以$EG = AF$，$EG // AF$，
所以四边形$AEGF$为平行四边形，
所以$AE // FG$。
$PA \perp$平面$ABCD$，$CD \subset$平面$ABCD$，$AD \subset$平面$ABCD$，
所以$PA \perp CD$，$PA \perp AD$。
底面$ABCD$为正方形，
所以$CD \perp AD$。
$PA \cap AD = A$，$PA \subset$平面$PAD$，$AD \subset$平面$PAD$，
所以$CD \perp$平面$PAD$。
$AE \subset$平面$PAD$，
所以$CD \perp AE$。
$PA \perp AD$，$PA = AD$，$E$为$PD$的中点，
所以$AE \perp PD$。
$PD \cap CD = D$，$PD \subset$平面$PCD$，$CD \subset$平面$PCD$，
所以$AE \perp$平面$PCD$。
$AE // FG$，
所以$FG \perp$平面$PCD$。
$FG \subset$平面$PFC$，
所以平面$PFC \perp$平面$PCD$。