《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例3 函数 $ f ( x ) = \frac { x · 2 ^ { x } } { | x | } - x $ 的图象大致为(A)

答案： 函数$f(x)=\frac{x·2^x}{|x|}-x$，定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
当$x＞0$时，$|x|=x$，$f(x)=\frac{x·2^x}{x}-x=2^x - x$；
当$x＜0$时，$|x|=-x$，$f(x)=\frac{x·2^x}{-x}-x=-2^x - x$。
$f(-x)\neq f(x)$且$f(-x)\neq -f(x)$，非奇非偶函数，排除B。
$x＜0$时，$f(-1)=-2^{-1}-(-1)=\frac{1}{2}$，$f(-2)=-2^{-2}-(-2)=\frac{7}{4}$，非单调递增，排除C。
$x＞0$时，$f(x)=2^x - x＞0$，排除D。
答案 A

例4 当 $ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $ 时，函数 $ f ( x ) = a ^ { 2 - 3 x } - 2 $ 的图象过定点$\left( \frac{2}{3}, -1 \right)$。

答案： $\left( \frac{2}{3}, -1 \right)$

例5 已知 $ f ( x ) = | 3 ^ { x } - 1 | + 1 $，若关于 $ x $ 的方程 $ [ f ( x ) ] ^ { 2 } - ( 2 + a ) f ( x ) + 2 a = 0 $ 有三个实数根，则实数 $ a $ 的取值范围是(A)

A.$ 1 ＜ a ＜ 2 $
B.$ a ＞ 2 $
C.$ 2 ＜ a ＜ 3 $
D.$ a ＞ 1 $

答案： A