《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

典例(江苏卷)设 $ D,E $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的边 $ AB,BC $ 上的点，$ AD=\frac{1}{2}AB,BE=\frac{2}{3}BC $。若 $ \overrightarrow{DE}=\lambda_1\overrightarrow{AB}+\lambda_2\overrightarrow{AC} $($ \lambda_1,\lambda_2 $ 为实数)，则 $ \lambda_1+\lambda_2 $ 的值为$\frac{1}{2}$。

答案： 答题卡作答：
由题意，$D$ 是 $AB$ 的中点对应的分点，即 $AD = \frac{1}{2}AB$，所以 $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$。
$BE = \frac{2}{3}BC$，所以 $\overrightarrow{BE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$。
$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，
由于 $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$，代入上式得：
$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = -\frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$。
又因为 $\overrightarrow{DE} = \lambda_1\overrightarrow{AB} + \lambda_2\overrightarrow{AC}$，通过比较系数，可以得到：
$\lambda_1 = -\frac{1}{6}, \quad \lambda_2 = \frac{2}{3}$。
所以$\lambda_1 + \lambda_2 = \frac{1}{2}$。
故答案为：$\frac{1}{2}$。