《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 3 为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品。已知该企业每月的处理量最少为 30 t，最多为 400 t，月处理成本$f(x)$(元)与月处理量$x(t)$之间的函数关系近似地表示为$f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-300x + 64800$。
(1)该企业每月的处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？
(2)该企业每月的处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？

答案：
(1)
$f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-300x + 64800=\frac{1}{2}(x - 300)^{2}+19800$。
因为$a=\frac{1}{2}\gt0$，函数图象开口向上，对称轴为$x = 300$，又$30\leq x\leq400$，
所以$f(x)$在$[30,300]$上单调递减，在$(300,400]$上单调递增。
当$x = 300$时，$f(x)$有最小值，$f(300)=19800$。
答：该企业每月的处理量为$300t$时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是$19800$元。
(2)
$g(x)=\frac{f(x)}{x}=\frac{\frac{1}{2}x^{2}-300x + 64800}{x}=\frac{1}{2}x-300+\frac{64800}{x}(30\leq x\leq400)$。
根据基本不等式$a + b\geq2\sqrt{ab}$（$a\gt0,b\gt0$，当且仅当$a = b$时等号成立），对于$\frac{x}{2}+\frac{64800}{x}$，有$\frac{x}{2}+\frac{64800}{x}\geq2\sqrt{\frac{x}{2}×\frac{64800}{x}} = 360$，当且仅当$\frac{x}{2}=\frac{64800}{x}$，即$x = 360$时等号成立。
所以$g(x)=\frac{x}{2}-300+\frac{64800}{x}\geq360 - 300=60$。
答：该企业每月的处理量为$360t$时，才能使每吨的平均处理成本最低，每吨的平均处理成本最低是$60$元。

母题 3 反比例函数模型的应用
例 4 某公司更新品牌电子零件，上年度的单价为 8 元，年销售量为 a 个，本年度计划将单价下调到 5.5 元至 7.5 元之间，但通过市场调研得知用户的期望单价为 4 元。经测算，下调单价后的新增销售量 t(个)和实际单价 x(元)与用户的期望单价的差成反比(比例系数是 k)，已知该电子零件的成本单价为 3 元。
(1)写出新增销售量关于实际单价的函数解析式。
(2)写出本年度单价下调后该公司的收益 y(元)关于实际单价的函数解析式(收益=实际销售量×(实际单价 - 成本单价))。
(3)设$k = 2a$，当实际单价最低为多少时，仍可保证该公司的收益比上年度至少增加 20%？

答案：
(1) $ t = \frac{k}{x - 4}(5.5 \leq x \leq 7.5) $
(2) $ y = \left(a + \frac{k}{x - 4}\right)(x - 3)(5.5 \leq x \leq 7.5) $
(3) 当$ k = 2a $时，$ y = \left(a + \frac{2a}{x - 4}\right)(x - 3) $。上年度收益为$ a(8 - 3) = 5a $，本年度需$ y \geq 5a × 1.2 = 6a $。代入得$ \left(a + \frac{2a}{x - 4}\right)(x - 3) \geq 6a $，化简为$ \frac{x^2 - 11x + 30}{x - 4} \geq 0 $。因$ 5.5 \leq x \leq 7.5 $，$ x - 4 ＞ 0 $，解$ x^2 - 11x + 30 \geq 0 $得$ x \leq 5 $或$ x \geq 6 $，结合定义域得$ 6 \leq x \leq 7.5 $，最低单价为$ 6 $元。