《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 3 若一元二次不等式 $ax^{2}+bx+c＞0$ 的解集是 $\{x|-1＜x＜2\}$，则一元二次不等式 $cx^{2}+bx+a＞0$ 的解集是 (C)

A.$\{x|x＜-\frac{1}{2}$ 或 $x＞1\}$
B.$\{x|-\frac{1}{2}＜x＜1\}$
C.$\{x|x＜-1$ 或 $x＞\frac{1}{2}\}$
D.$\{x|-1＜x＜\frac{1}{2}\}$

答案： C

例 4 若不等式 $(a - 2)x^{2}+2(a - 2)x - 4＜0$ 对一切 $x\in\mathbf{R}$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是$\{a|-2 ＜ a \leq 2\}$。

答案： 当$a - 2 = 0$，即$a = 2$时，不等式化为$-4 ＜ 0$，恒成立。
当$a - 2 \neq 0$时，不等式$(a - 2)x^2 + 2(a - 2)x - 4 ＜ 0$为一元二次不等式，要对一切$x \in \mathbf{R}$恒成立，需满足：
$\begin{cases}a - 2 ＜ 0 \\\Delta = [2(a - 2)]^2 - 4(a - 2)(-4) ＜ 0\end{cases}$
其中$\Delta = 4(a - 2)^2 + 16(a - 2) = 4(a - 2)(a - 2) ＜ 0$，解得$-2 ＜ a ＜ 2$。
综上，$a$的取值范围是$\{a|-2 ＜ a \leq 2\}$。
$\{a|-2 ＜ a \leq 2\}$