《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 6 解下列关于 $ x $ 的不等式：
(1) $ 2\log_{a}(x - 4) ＞ \log_{a}(x - 2) $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）；
(2) $ x^{\log_{a}x} ＜ a^{3}x^{2} $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）。

答案：
(1) 2logₐ(x-4)＞logₐ(x-2)（a＞0且a≠1）
原不等式化为logₐ(x-4)²＞logₐ(x-2)，定义域：x-4＞0且x-2＞0⇒x＞4。
①当a＞1时：
{x＞4，(x-4)²＞x-2}⇒x＞6。
②当0＜a＜1时：
{x＞4，(x-4)²＜x-2}⇒4＜x＜6。
综上，当a＞1时，解集{x|x＞6}；当0＜a＜1时，解集{x|4＜x＜6}。
(2) x^logₐx＜a³x²（a＞0且a≠1）
①当a＞1时，两边取logₐ得(logₐx)²＜3+2logₐx⇒(logₐx)²-2logₐx-3＜0⇒-1＜logₐx＜3⇒1/a＜x＜a³。
②当0＜a＜1时，两边取logₐ得(logₐx)²＞3+2logₐx⇒(logₐx)²-2logₐx-3＞0⇒logₐx＜-1或logₐx＞3⇒x＞1/a或0＜x＜a³。
综上，当a＞1时，解集{x|1/a＜x＜a³}；当0＜a＜1时，解集{x|0＜x＜a³或x＞1/a}。

母题 3 对数型函数的奇偶性及其应用
例 7 已知函数$ f(x) = \log_{a}(3 + 2x) ，$$ g(x) = \log_{a}(3 - 2x) ，$ a ＞ 0 ，且$ a \neq 1 。$
(1) 求函数 f(x) - g(x) 的定义域；
(2) 判断函数 f(x) - g(x) 的奇偶性，并予以证明；
(3) 求使 f(x) - g(x) ＞ 0 成立的 x 的取值范围。

答案：
(1)
要使$f(x) - g(x)$有意义，则$\begin{cases}3 + 2x\gt0\\3 - 2x\gt0\end{cases}$，
解$3 + 2x\gt0$得$x\gt-\frac{3}{2}$，解$3 - 2x\gt0$得$x\lt\frac{3}{2}$，
所以函数$f(x) - g(x)$的定义域是$(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$。
(2)
函数$f(x) - g(x)$是奇函数。
证明：由
(1)知定义域关于原点对称。
设$F(x)=f(x)-g(x)=\log_{a}(3 + 2x)-\log_{a}(3 - 2x)$，
$F(-x)=\log_{a}(3 - 2x)-\log_{a}(3 + 2x)=-[\log_{a}(3 + 2x)-\log_{a}(3 - 2x)]=-F(x)$，
所以函数$f(x) - g(x)$是奇函数。
(3)
由$f(x) - g(x)\gt0$，即$\log_{a}(3 + 2x)\gt\log_{a}(3 - 2x)$。
当$a\gt1$时，$\begin{cases}3 + 2x\gt3 - 2x\\-\frac{3}{2}\lt x\lt\frac{3}{2}\end{cases}$，
解$3 + 2x\gt3 - 2x$得$x\gt0$，结合定义域得$0\lt x\lt\frac{3}{2}$。
当$0\lt a\lt1$时，$\begin{cases}3 + 2x\lt3 - 2x\\-\frac{3}{2}\lt x\lt\frac{3}{2}\end{cases}$，
解$3 + 2x\lt3 - 2x$得$x\lt0$，结合定义域得$-\frac{3}{2}\lt x\lt0$。
综上，当$a\gt1$时，$x$的取值范围是$(0,\frac{3}{2})$；当$0\lt a\lt1$时，$x$的取值范围是$(-\frac{3}{2},0)$。