《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例6已知椭圆C:$\frac{x²}{a²}$+辽b²=1(a＞
b＞0)中,a= $\sqrt{2}$,离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线y=x+$\frac{1}{2}$与椭圆C交于A,B两点，求|AB|.
−5
解:(1)由题意,知a=$\sqrt{2}$,e=$\frac{C}{a}$=$\frac{2}{2}$,即a=$\sqrt{2}$C.
因为a²=b²+c²,解得b=c=1,所以椭圆C 的方程为$\frac{x²}{2}$+y²=1.
(2)设A(x1,y1),B(c2,y2),联立直线与椭圆
$\frac{x²}{2}$+A²=1,
C的方程，
y=x+$\frac{1}{2}$,
整理,得3x²+2x−$\frac{3}{2}$=0,则△=4−4×3×
(−$\frac{3}{2}${＞0,x1+x2=−$\frac{2}{3}$,x1x2=−$\frac{1}{2}$,
所以|AB|=√(x−x)²+(y−y)²=$\sqrt{2}$×
$\sqrt{(x−x)²}$=√2×$\sqrt{(x+x)²−4xx}$$\frac{_2\sqrt{11}}{3}$.

答案：
(1)已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ b ＞ 0)$，$a = \sqrt{2}$，离心率$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为$e=\frac{c}{a}$，所以$c = ae=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$。
又因为$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，即$(\sqrt{2})^{2}=b^{2}+1^{2}$，解得$b^{2}=1$，$b = 1$。
所以椭圆$C$的方程为$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$。
(2)设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，联立直线$y=x+\frac{1}{2}$与椭圆方程$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$：
$\begin{cases}\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1 \\y=x+\frac{1}{2}\end{cases}$
将$y=x+\frac{1}{2}$代入$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$得：
$\frac{x^{2}}{2}+\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=1$
展开并整理：
$\frac{x^{2}}{2}+x^{2}+x+\frac{1}{4}=1 \implies \frac{3x^{2}}{2}+x-\frac{3}{4}=0 \implies 6x^{2}+4x - 3=0$
所以$\Delta=4^{2}-4×6×(-3)=16 + 72=88$，$x_{1}+x_{2}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}$。
因为直线$y=x+\frac{1}{2}$的斜率$k = 1$，所以$\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}·\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{1 + 1^{2}}·\sqrt{\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}-4×\left(-\frac{1}{2}\right)}$
$=\sqrt{2}·\sqrt{\frac{4}{9}+2}=\sqrt{2}·\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{18}{9}}=\sqrt{2}·\sqrt{\frac{22}{9}}=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{22}}{3}=\frac{\sqrt{44}}{3}=\frac{2\sqrt{11}}{3}$
综上，
(1)椭圆方程为$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$；
(2)$\vert AB\vert=\frac{2\sqrt{11}}{3}$。

例7已知椭圆C:$\frac{x²}{a?}$+辽b²=1(a＞
b＞0)上任意一点P到两个焦点的
距离之和为8,且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点M(2,1)作直线L交椭圆于A,B两点,M为线段AB的中点，求直线L的方程.
解:(1)由椭圆的定义,知2a=8,所以a=4.
又因为椭圆的离心率e=$\frac{C}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以c=
2$\sqrt{3}$,所以b²=a²−c²=16−12=4,
所以椭圆C的标准方程为$\frac{x²}{16}$+=11.
(2)因为M(2,1)为椭圆$\frac{x²}{16}$+x4²=1内一点，
所以直线I与椭圆必交于A,B两点.
设A(x1,y),B(x2,y),当x1=x2时,不符合题意，故x1≠x2.
因为M(2,1)为线段AB的中点，所以
$\frac{x+x}{2}$y+2y2=.=21,,所以{xy11++xy22==42.,
{
又因为点A，B 均在椭圆上，所
以$\frac{x²}{16}$+²4=1,
$\frac{x2}{16}$+4=1.
{
两式相减，得$\frac{x²−−x²}{16}$+4 =0,即
$\frac{(x+x2)(x−x2)}{16}$=−( − X4(
所以$\frac{4(x−x2)}{16}$=−2(y−4y2),
所以 y2.=−$\frac{1}{2}$,即kAB=−$\frac{1}{2}$,
所以直线l的方程为y−1=−$\frac{1}{2}$(x−2),即
x+2y−4=0.

答案：
(1)由椭圆定义知，$2a=8$，则$a=4$。离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$c=2\sqrt{3}$。$b^2=a^2 - c^2=16 - 12=4$，椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。
(2)设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$x_1\neq x_2$。因为M(2,1)为AB中点，所以$x_1 + x_2=4$，$y_1 + y_2=2$。又A，B在椭圆上，有$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{16}+\frac{y_1^2}{4}=1\\frac{x_2^2}{16}+\frac{y_2^2}{4}=1\end{array}\right.$，两式相减得$\frac{(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)}{16}+\frac{(y_1 + y_2)(y_1 - y_2)}{4}=0$，即$\frac{4(x_1 - x_2)}{16}+\frac{2(y_1 - y_2)}{4}=0$，化简得$\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}=-\frac{1}{2}$，即$k_{AB}=-\frac{1}{2}$。直线L方程为$y - 1=-\frac{1}{2}(x - 2)$，即$x + 2y - 4=0$。