《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例7 已知直线 $ y + 1 = m(x - 2) $ 与圆 $ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 9 $ 相交于 $ M, N $ 两点，则 $ |MN| $ 的最小值为(D)

A.$ \sqrt{5} $
B.$ 2\sqrt{5} $
C.6
D.4

答案： D

例8(全国乙卷)已知实数 $ x, y $ 满足 $ x^{2} + y^{2} - 4x - 2y - 4 = 0 $，则 $ x - y $ 的最大值是(C)

A.$ 1 + \frac{3\sqrt{2}}{2} $
B.4
C.$ 1 + 3\sqrt{2} $
D.7

答案： C

例9 已知 $ M(x, y) $ 为圆 $ C:x^{2} + y^{2} - 4x - 14y + 45 = 0 $ 上任意一点，且点 $ Q(-2,3) $。
(1) 求 $ |MQ| $ 的最大值和最小值；
(2) 求 $ \frac{y - 3}{x + 2} $ 的最大值和最小值。

答案：
(1) 最大值为 $ 6\sqrt{2} $，最小值为 $ 2\sqrt{2} $；
(2) 最大值为 $ 2 + \sqrt{3} $，最小值为 $ 2 - \sqrt{3} $。