《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 6 (1)已知点 $A(-2,2)$，$B(6,4)$，$H(5,2)$，点 $H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心，则点 $C$ 的坐标为(D)
A. $(6,2)$
B. $(-2,2)$
C. $(-4,-2)$
D. $(6,-2)$
(2)直线 $l_1$ 过点 $A(m,1)$ 和点 $B(-1,m)$，直线 $l_2$ 过点 $C(m + n,n + 1)$ 和点 $D(n + 1,n - m)$，则直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的位置关系是垂直。

答案：
(1)设点$C$的坐标为$(x,y)$。
因为$H$是$\triangle ABC$的垂心，所以$BC\perp AH$，$AC\perp BH$。
$k_{AH}=\frac{2 - 2}{5 - (-2)}=0$，故$AH$平行于$x$轴，因此$BC$垂直于$x$轴，所以$x=6$。
$k_{BH}=\frac{4 - 2}{6 - 5}=2$，因为$AC\perp BH$，所以$k_{AC}=-\frac{1}{2}$。
$k_{AC}=\frac{y - 2}{x - (-2)}=\frac{y - 2}{6 + 2}=-\frac{1}{2}$，解得$y=-2$。
故点$C$的坐标为$(6,-2)$。
(2)①当$m=1$时，$l_1$过$A(1,1)$，$B(-1,1)$，$k_1=0$；$l_2$过$C(1 + n,n + 1)$，$D(n + 1,n - 1)$，斜率不存在，$l_1\perp l_2$。
②当$m=-1$时，$l_1$过$A(-1,1)$，$B(-1,-1)$，斜率不存在；$l_2$过$C(-1 + n,n + 1)$，$D(n + 1,n + 1)$，$k_2=0$，$l_1\perp l_2$。
③当$m\neq\pm1$时，$k_1=\frac{m - 1}{-1 - m}$，$k_2=\frac{(n - m)-(n + 1)}{(n + 1)-(m + n)}=\frac{-m - 1}{1 - m}$，$k_1k_2=-1$，$l_1\perp l_2$。
综上，直线$l_1$与$l_2$的位置关系是垂直。
答案
(1)D
(2)垂直