《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 4 直线与双曲线的位置关系 5 年 6 考
例 5 (1)记双曲线 $ C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0) $ 的离心率为 $ e $，写出满足条件“直线 $ y=2x $ 与 $ C $ 无公共点”的 $ e $ 的一个值2.
(2)过点 $ P(4,2) $ 作一直线 $ AB $ 与双曲线 $ C:\dfrac{x^2}{2}-y^2=1 $ 相交于 $ A,B $ 两点，若 $ P $ 为线段 $ AB $ 的中点，则 $ |AB|= $$4\sqrt{3}$.
解析 (1)因为双曲线 $ C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0) $，所以 $ C $ 的渐近线方程为 $ y=\pm\dfrac{b}{a}x $. 结合渐近线的特点，只需令 $ 0＜\dfrac{b}{a}\leqslant2 $，即 $ \dfrac{b^2}{a^2}\leqslant4 $，即可满足条件“直线 $ y=2x $ 与 $ C $ 无公共点”，
所以此时 $ e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}\leqslant\sqrt{1+4}=\sqrt{5} $.
又因为 $ e＞1 $，所以 $ 1＜e\leqslant\sqrt{5} $.
(2)方法 1：由题意可知，直线 $ AB $ 的斜率存在. 设直线 $ AB $ 的斜率为 $ k $，则直线 $ AB $ 的方程为 $ y=k(x-4)+2 $. 由 $ \begin{cases}y=k(x-4)+2,\\\dfrac{x^2}{2}-y^2=1,\end{cases} $ 消去 $ y $ 并整理，得 $ (1-2k^2)x^2+8k(2k-1)x-32k^2+32k-10=0 $. 设 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $.
因为 $ P(4,2) $ 为线段 $ AB $ 的中点，所以 $ x_1+x_2=-\dfrac{8k(2k-1)}{1-2k^2}=8 $，解得 $ k=1 $，所以 $ x_1x_2=\dfrac{-32k^2+32k-10}{1-2k^2}=10 $，所以 $ |AB|=\sqrt{1+k^2}·\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=4\sqrt{3} $.
方法 2(点差法)：设 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $. 因为 $ A,B $ 均在双曲线上，所以 $ \begin{cases}\dfrac{x_1^2}{2}-y_1^2=1,\\\dfrac{x_2^2}{2}-y_2^2=1.\end{cases} $ ① - ②，得 $ \dfrac{1}{2}(x_1-x_2)(x_1+x_2)-(y_1-y_2)·(y_1+y_2)=0 $.
因为 $ P(4,2) $ 为线段 $ AB $ 的中点，所以 $ x_1+x_2=8 $，$ y_1+y_2=4 $，
所以 $ 4(x_1-x_2)-4(y_1-y_2)=0 $，即 $ x_1-x_2=y_1-y_2 $，所以直线 $ AB $ 的斜率 $ k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=1 $，则直线 $ AB $ 的方程为 $ y=x-2 $.
由 $ \begin{cases}y=x-2,\\\dfrac{x^2}{2}-y^2=1,\end{cases} $ 消去 $ y $ 并整理，得 $ x^2-8x+10=0 $，所以 $ x_1+x_2=8 $，$ x_1x_2=10 $，所以 $ |AB|=\sqrt{1+k^2}·\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=4\sqrt{3} $.
答案 (1)2(满足 $ 1＜e\leqslant\sqrt{5} $ 皆可) (2)$ 4\sqrt{3} $
例 6 双曲线 $ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0) $ 的一条渐近线方程是 $ y=\sqrt{3}x $，坐标原点到直线 $ AB $ 的距离为 $ \dfrac{3}{2} $，其中 $ A(a,0) $，$ B(0,-b) $.
(1)求双曲线的方程；
(2)若 $ B_1 $ 是双曲线虚轴在 $ y $ 轴正半轴上的端点，过点 $ B $ 作直线交双曲线于点 $ M,N $，求 $ \overrightarrow{B_1M}\perp\overrightarrow{B_1N} $ 时，直线 $ MN $ 的方程.
解：(1)设直线 $ AB:\dfrac{x}{a}-\dfrac{y}{b}=1 $. 由题意，得 $ \begin{cases}\dfrac{b}{a}=\sqrt{3},\\\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{3}{2},\end{cases} $ $ \therefore \begin{cases}a=\sqrt{3},\\b=3,\end{cases} $
$ \therefore $ 双曲线的方程为 $ \dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{9}=1 $.
(2)由(1)，得 $ B(0,-3) $，$ B_1(0,3) $. 设 $ M(x_1,y_1) $，$ N(x_2,y_2) $，直线 $ MN:y=kx-3 $，
$ \therefore \begin{cases}y=kx-3,\\3x^2-y^2=9,\end{cases} $
$ \therefore 3x^2-(kx-3)^2=9 $，整理，得 $ (3-k^2)x^2+6kx-18=0 $，①
$ \therefore x_1+x_2=\dfrac{6k}{k^2-3} $，$ x_1x_2=\dfrac{18}{k^2-3} $，$ \therefore y_1+y_2=k(x_1+x_2)-6=\dfrac{18}{k^2-3} $，$ y_1y_2=k^2x_1x_2-3k(x_1+x_2)+9=9 $.
由题意，知 $ \overrightarrow{B_1M}=(x_1,y_1-3) $，$ \overrightarrow{B_1N}=(x_2,y_2-3) $.
$ \because \overrightarrow{B_1M}·\overrightarrow{B_1N}=0 $，
$ \therefore x_1x_2+y_1y_2-3(y_1+y_2)+9=0 $，
即 $ \dfrac{18}{k^2-3}+9-\dfrac{54}{k^2-3}+9=0 $，
解得 $ k^2=5 $，$ \therefore k=\pm\sqrt{5} $. $ \because $ 代入①均有解，
$ \therefore $ 直线 $ MN $ 的方程为 $ y=\pm\sqrt{5}x-3 $.

答案：
(1)2（满足$1 ＜ e \leq \sqrt{5}$皆可）
(2)$4\sqrt{3}$
(1)解：双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$的渐近线方程为$y=\pm\dfrac{b}{a}x$。直线$y=2x$与$C$无公共点，则$\dfrac{b}{a}\leq2$，即$\dfrac{b^2}{a^2}\leq4$。离心率$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}\leq\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$，又$e＞1$，故$1 ＜ e\leq\sqrt{5}$，可取$e=2$。
(2)解：设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$P(4,2)$为$AB$中点，则$x_1 + x_2=8$，$y_1 + y_2=4$。由$\begin{cases}\dfrac{x_1^2}{2}-y_1^2=1\\\dfrac{x_2^2}{2}-y_2^2=1\end{cases}$，两式相减得$\dfrac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{2}=(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)$，代入得$\dfrac{8(x_1 - x_2)}{2}=4(y_1 - y_2)$，即$k=\dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}=1$。直线$AB:y=x - 2$，联立$\begin{cases}\dfrac{x^2}{2}-y^2=1\\y=x - 2\end{cases}$，得$x^2 - 8x + 10=0$，$x_1 + x_2=8$，$x_1x_2=10$。$|AB|=\sqrt{1 + 1^2}·\sqrt{(8)^2 - 4×10}=\sqrt{2}·\sqrt{24}=4\sqrt{3}$。
(1)$\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{9}=1$
(2)$y=\pm\sqrt{5}x - 3$
(1)解：由渐近线$y=\sqrt{3}x$得$\dfrac{b}{a}=\sqrt{3}$，即$b=\sqrt{3}a$。直线$AB:\dfrac{x}{a}-\dfrac{y}{b}=1$，原点到$AB$距离$\dfrac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}=\dfrac{3}{2}$，代入$b=\sqrt{3}a$得$\dfrac{a·\sqrt{3}a}{\sqrt{a^2 + 3a^2}}=\dfrac{3}{2}$，解得$a=\sqrt{3}$，$b=3$，双曲线方程为$\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{9}=1$。
(2)解：$B(0,-3)$，$B_1(0,3)$，设直线$MN:y=kx - 3$，联立$\begin{cases}3x^2 - y^2=9\\y=kx - 3\end{cases}$得$(3 - k^2)x^2 + 6kx - 18=0$。设$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则$x_1 + x_2=\dfrac{6k}{k^2 - 3}$，$x_1x_2=\dfrac{18}{k^2 - 3}$，$y_1 + y_2=\dfrac{18}{k^2 - 3}$，$y_1y_2=9$。由$\overrightarrow{B_1M}·\overrightarrow{B_1N}=0$得$x_1x_2 + (y_1 - 3)(y_2 - 3)=0$，代入解得$k^2=5$，$k=\pm\sqrt{5}$，直线$MN:y=\pm\sqrt{5}x - 3$。