《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 3 如图，在四面体 A - BCD 中，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ = 3QC。求证：PQ //平面 BCD。

答案： 证明：过点P作PE//AD交BD于点E，过点Q作QF//AD交CD于点F，连接EF。
∵PE//AD，QF//AD，
∴PE//QF。
在△ACD中，QF//AD，AQ=3QC，
∴CQ/CA=1/4。由平行线分线段成比例定理得QF/AD=CQ/CA=1/4，
∴QF=1/4AD。
∵M是AD的中点，
∴MD=1/2AD。
∵PE//AD，即PE//MD，P是BM的中点，
∴PE=1/2MD=1/2×(1/2AD)=1/4AD。
∴PE=QF，又PE//QF，
∴四边形PEFQ为平行四边形，
∴PQ//EF。
∵PQ⊄平面BCD，EF⊂平面BCD，
∴PQ//平面BCD。

母题 3 直线与平面平行的性质
例 4 如图，在正四棱锥 P - ABCD 中，已知 E，G 分别为 PB，PD 的中点，平面 AEG∩平面 ABCD = l。求证：EG//l。

答案： 证明：
连接 $BD$。
由于 $E$ 和 $G$ 分别是 $PB$ 和 $PD$ 的中点，
根据中位线的性质，$EG$ 是 $\triangle PBD$ 的中位线，
所以 $EG // BD$。
由于 $EG$ 不在平面 $ABCD$ 内，而 $BD$ 在平面 $ABCD$ 内，
根据直线与平面平行的判定定理，
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
那么该直线与此平面平行，
所以 $EG //$ 平面 $ABCD$。
又因为 $EG$ 在平面 $AGE$ 内，平面 $AGE$ 与平面 $ABCD$ 的交线为 $l$，
根据直线与平面平行的性质定理，
如果一条直线平行于一个平面，过这条直线的平面与这个平面相交，
那么这条直线与交线平行，
所以 $EG // l$。