《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例2 (1)已知函数 $ y=f(x) $ 的定义域为 $ [-2,2] $，则函数 $ y=f(2x + 1) $ 的定义域为$\left[-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right]$；
(2)已知函数 $ f(x + 1) $ 的定义域为 $ [-2,2) $，则函数 $ f(x) $ 的定义域为[-1,3)；
(3)已知函数 $ f(x - 1) $ 的定义域为 $ [-2,3] $，则函数 $ f(2x - 1) $ 的定义域为$\left[-1,\frac{3}{2}\right]$。

答案：
(1)$\left[-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right]$
(2)$[-1,3)$
(3)$\left[-1,\frac{3}{2}\right]$

例3 如图，从边长为 $ 2a $ 的正方形铁片的四个角处各截去一个边长为 $ x $ 的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度 $ x $ 与底面正方形边长的比不超过正数 $ t $。把长方体盒子的容积 $ V $ 表示为关于 $ x $ 的函数，并指出其定义域。

答案： 由题意，长方体盒子的高度为 $ x $，底面正方形边长为 $ 2a - 2x $，则容积 $ V = x(2a - 2x)^2 $，化简得 $ V = 4x(a - x)^2 $。
定义域需满足：
1. $ x ＞ 0 $（截去的小正方形边长为正）；
2. $ 2a - 2x ＞ 0 \Rightarrow x ＜ a $（底面边长为正）；
3. $ \frac{x}{2a - 2x} \leq t $（高度与底面边长比不超过 $ t $）。
解不等式 $ \frac{x}{2a - 2x} \leq t $：
$ x \leq t(2a - 2x) $
$ x + 2tx \leq 2at $
$ x(1 + 2t) \leq 2at $
$ x \leq \frac{2at}{1 + 2t} $
综合得 $ 0 ＜ x \leq \frac{2at}{1 + 2t} $。
故长方体盒子的容积 $ V = 4x(a - x)^2 $，定义域为 $ \left(0, \frac{2at}{1 + 2t}\right $。

母题2 函数的求值问题
例4 已知 $ f(x)=\frac{1 - x}{1 + x}(x \in \mathbf{R} $，且 $ x \neq -1) $，$ g(x)=x^{2}-1(x \in \mathbf{R}) $。
（1）求 $ f(1) $，$ g(2) $ 的值；
（2）求 $ f(g(2)) $ 的值及函数 $ f(g(x)) $ 的解析式。

答案： 例4
（1）
根据函数定义，将$x = 1$代入$f(x)=\frac{1 - x}{1 + x}$，可得$f(1)=\frac{1 - 1}{1 + 1}=0$；
将$x = 2$代入$g(x)=x^{2}-1$，可得$g(2)=2^{2}-1 = 3$。
（2）
由（1）知$g(2)=3$，将$x = 3$代入$f(x)=\frac{1 - x}{1 + x}$，可得$f(g(2))=f(3)=\frac{1 - 3}{1 + 3}=-\frac{1}{2}$；
因为$g(x)=x^{2}-1$，所以$f(g(x))=f(x^{2}-1)=\frac{1-(x^{2}-1)}{1+(x^{2}-1)}=\frac{2 - x^{2}}{x^{2}}(x\neq0)$。

例5 设 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数，且对任意实数 $ x $，$ y $ 都满足 $ f(x - y)=f(x)+f(y)+xy - 1 $。
（1）求 $ f(0) $，$ f(1) $ 的值；
（2）求函数 $ f(x) $ 的解析式。

答案： 例5
（1）
令$x = y = 0$，代入$f(x - y)=f(x)+f(y)+xy - 1$，得$f(0)=f(0)+f(0)-1$，解得$f(0)=1$；
令$x = y = 1$，代入$f(x - y)=f(x)+f(y)+xy - 1$，得$f(0)=f(1)+f(1)+1 - 1$，把$f(0)=1$代入，得$1 = 2f(1)$，解得$f(1)=\frac{1}{2}$。
（2）
令$y = x$，代入$f(x - y)=f(x)+f(y)+xy - 1$，得$f(0)=f(x)+f(x)+x^{2}-1$，把$f(0)=1$代入，得$1 = 2f(x)+x^{2}-1$，移项可得$2f(x)=-x^{2}+2$，解得$f(x)=-\frac{1}{2}x^{2}+1$。
综上，例4（1）$f(1)=0$，$g(2)=3$；（2）$f(g(2))=-\frac{1}{2}$，$f(g(x))=\frac{2 - x^{2}}{x^{2}}(x\neq0)$。例5（1）$f(0)=1$，$f(1)=\frac{1}{2}$；（2）$f(x)=-\frac{1}{2}x^{2}+1$。