《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 7 (1) 已知向量 $ \boldsymbol{a}=(x,1),\boldsymbol{b}=(2,2x + 3) $，若 $ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} $ 的夹角为钝角，则 $ x $ 的取值范围为(B)
A. $ \left( -\frac{3}{4},+\infty \right) $
B. $ (-\infty,-2)\cup\left( -2,-\frac{3}{4} \right) $
C. $ \left( -\infty,-\frac{3}{4} \right) $
D. $ (-2,-\frac{3}{4})\cup\left( -\frac{3}{4},+\infty \right) $
(2) 已知向量 $ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},|\boldsymbol{a}| = 2,|\boldsymbol{b}| = 5 $，$ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为 $ \frac{2\pi}{3} $，则当 $ |\boldsymbol{a}+x\boldsymbol{b}| $ 的值最小时，实数 $ x $ 的值为$\frac{1}{5}$。

答案：
(1)B；
(2)$\frac{1}{5}$。

例 8 (1)(新课标Ⅰ卷)已知向量 $ \boldsymbol{a}=(1,1),\boldsymbol{b}=(1,-1) $，若 $ (\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}) $，则(D)
A. $ \lambda+\mu = 1 $
B. $ \lambda+\mu=-1 $
C. $ \lambda\mu = 1 $
D. $ \lambda\mu=-1 $
(2) 点 $ A(1,2),B(-2,-4) $，点 $ P $ 在坐标轴上，且 $ \angle APB $ 为直角，这样的点 $ P $ 有4个。

答案：
(1)
已知$\boldsymbol{a}=(1,1)$，$\boldsymbol{b}=(1, - 1)$，则$\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}=(1 + \lambda,1 - \lambda)$，$\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}=(1 + \mu,1 - \mu)$。
因为$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})$，所以$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}) = 0$，即$(1 + \lambda)(1 + \mu)+(1 - \lambda)(1 - \mu)=0$。
展开可得：
$\begin{aligned}1+\mu+\lambda+\lambda\mu + 1-\mu-\lambda+\lambda\mu&=0\\2 + 2\lambda\mu&=0\\\lambda\mu&=-1\end{aligned}$
答案选D。
(2)
当点$P$在$x$轴上时，设$P(x,0)$，$\overrightarrow{AP}=(x - 1,-2)$，$\overrightarrow{BP}=(x + 2,4)$。
因为$\angle APB$为直角，所以$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{BP}=(x - 1)(x + 2)-8 = 0$，即$x^{2}+x - 10 = 0$。
$\Delta = 1^{2}-4×(-10)=41\gt0$，方程有两个解。
当点$P$在$y$轴上时，设$P(0,y)$，$\overrightarrow{AP}=(-1,y - 2)$，$\overrightarrow{BP}=(2,y + 4)$。
因为$\angle APB$为直角，所以$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{BP}=-2+(y - 2)(y + 4)=0$，即$y^{2}+2y - 10 = 0$。
$\Delta = 2^{2}-4×(-10)=44\gt0$，方程有两个解。
所以满足条件的点$P$有$4$个。
故答案为：
(1)D；
(2)$4$。