《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

圆锥曲线中的最值与取值
母题5 范围问题 5年10考
考例向6设1抛最物值线问C题:y²=2px(p＞0)的______
焦点为F,过点F作垂直于x轴的
直线与抛物线交于A,B两点，且以名师讲题
线段AB为直径的圆过点M(−1,0).
(1)求抛物线C的方程;
(2)设过点(2,0)的直线L1,L2分别与抛物线
C交于点D、点E和点G、点H,且l1⊥l2,求四边形DGEH面积的最小值.
解:(1)因为过点F作垂直于x轴的直线与
抛物线交于A,B两点,所以|AB|=2p.因为
以线段AB为直径的圆过点M(−1,0),所以圆的半径r=p=+1,解得p=2.
故抛物线的方程为²=4x.
(2)设直线l1的方程为x=my+2(m≠0).
联立{xy²==m4yx+,2,消去x,得y²−4my−
8=0.
设点D(x1,y1),E(x2,y2),
则y1+y2=4m,yiy2=−8,
所以|DE|= $\sqrt{1+m²}$. $\sqrt{16m²+32}$=
4$\sqrt{1+m²}$. $\sqrt{m²+2}$
同理可得,IGH|=+$\frac{1}{m²}$.√16$\frac{1}{m²}$+32=
4$\sqrt{1+}$$\frac{1}{m2}$. $\sqrt{M+2}$$\frac{1}{m²}$ 9
则四边形DGEH的面积
S=$\frac{1}{2}$|DE|.|GH|=8√{2+(m²+$\frac{1}{m²}$){0
$\sqrt{5+2(m²+)}$$\frac{1}{m²}$.
令t=m²+$\frac{1}{m²}$(t≥2),则S=8$\sqrt{2+t}$.
$\sqrt{5+2t}$=8$\sqrt{2t²+9t+10}$
当t=2,即m=±1时,Smin=48,所以四边形
DGEH面积的最小值为48.
方法提炼圆锥曲线最值问题的求解方法
(1)几何法:利用曲线的定义、几何性质以及
平面几何中的定理、性质等进行求解.
(2)代数法:把要求最值的几何量或代数式
表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后
利用函数方法、不等式方法等进行求解,

答案：
(1)抛物线$C$的焦点为$F(\frac{p}{2}, 0)$，
过点$F$作垂直于$x$轴的直线$x = \frac{p}{2}$，与抛物线交于$A, B$两点，则$A(\frac{p}{2}, p)$，$B(\frac{p}{2}, -p)$，
因为以线段$AB$为直径的圆过点$M(-1, 0)$，所以圆的半径$r = p = 1 + \frac{p}{2}$，（根据圆心到M的距离等于半径），
解得$p = 2$。
故抛物线的方程为$y^2 = 4x$。
(2)设直线$l_1$的方程为$x = my + 2$（$m \neq 0$），
联立$\begin{cases}x = my + 2,\\y^2 = 4x.\end{cases}$
消去$x$，得$y^2 - 4my - 8 = 0$。
设点$D(x_1, y_1)$，$E(x_2, y_2)$，则$y_1 + y_2 = 4m$，$y_1y_2 = -8$，
所以$|DE| = \sqrt{1 + m^2} · \sqrt{16m^2 + 32} = 4\sqrt{1 + m^2} · \sqrt{m^2 + 2}$，
同理，设直线$l_2$的方程为$x = -\frac{1}{m}y + 2$，
可得$|GH| = 4\sqrt{1 + \frac{1}{m^2}} · \sqrt{\frac{1}{m^2} + 2}$，
则四边形$DGEH$的面积
$S = \frac{1}{2}|DE| · |GH| = 8\sqrt{2 + (m^2 + \frac{1}{m^2})} · \sqrt{5 + 2(m^2 + \frac{1}{m^2})}$，
令$t = m^2 + \frac{1}{m^2}$（$t \geq 2$），
则$S = 8\sqrt{2 + t} · \sqrt{5 + 2t} = 8\sqrt{2t^2 + 9t + 10}$，
因为$S$在$2, +\infty)$上单调递增，
所以当$t = 2$，即$m = \pm 1$时，$S$取得最小值，最小值为$48$。
所以四边形$DGEH$面积的最小值为$48$。