《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 3 (1)若 $A(2,-3)$，$B(4,3)$，$C(5,b)$ 三点在同一条直线上，则实数 $b$ 的值为(C)
A. $-12$
B. $-6$
C. $6$
D. $12$
(2)求证：$A(-3,-5)$，$B(1,3)$，$C(5,11)$ 三点共线。

答案：
(1)
$k_{AB}=\frac{3 - (-3)}{4 - 2}=\frac{6}{2}=3$，
$k_{AC}=\frac{b - (-3)}{5 - 2}=\frac{b + 3}{3}$，
因为$A$，$B$，$C$三点在同一条直线上，所以$k_{AB}=k_{AC}$，
即$3=\frac{b + 3}{3}$，
$9=b + 3$，
解得$b = 6$。
故答案为C。
(2)
$k_{AB}=\frac{3-(-5)}{1-(-3)}=\frac{8}{4}=2$，
$k_{BC}=\frac{11 - 3}{5 - 1}=\frac{8}{4}=2$，
因为$k_{AB}=k_{BC}$，且两直线经过同一点$B$，所以$A$，$B$，$C$三点共线。

例 4 点 $M(x_1,y_1)$ 在函数 $y = e^x$ 的图象上，当 $x_1\in0,1)$ 时，$\frac{y_1 + 1}{x_1 - 1}$ 的最大值为-2。

答案： $-2$

例 5 (1)直线 $l_1$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$，$l_2$ 经过点 $M(1,\sqrt{3})$，$N(2,2\sqrt{3})$，则直线 $l_1$ 与直线 $l_2$ 的位置关系是(D)
A. 平行
B. 垂直
C. 重合
D. 平行或重合
(2)已知点 $P(-2,m)$，$Q(m,4)$，$M(m + 2,3)$，$N(1,1)$，若 $PQ// MN$，则 $m$ 的值为0或1。

答案：
(1)
直线$l_2$经过点$M(1,\sqrt{3})$，$N(2,2\sqrt{3})$，根据斜率公式$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，可得直线$l_2$的斜率$k_2=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2 - 1}=\sqrt{3}$。
因为直线$l_1$的倾斜角为$60^{\circ}$，所以直线$l_1$的斜率$k_1=\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$。
由于$k_1 = k_2$，所以直线$l_1$与直线$l_2$平行或重合。
答案选D。
(2)
当$m=-2$时，直线$PQ$的斜率不存在，直线$MN$的斜率存在，$PQ$与$MN$不平行，不符合题意。
当$m = -1$时，直线$MN$的斜率不存在，直线$PQ$的斜率存在，$PQ$与$MN$不平行，不符合题意。
当$m\neq -2$且$m\neq -1$时，$k_{PQ}=\frac{4 - m}{m+2}$，$k_{MN}=\frac{3 - 1}{m + 2 - 1}=\frac{2}{m + 1}$。
因为$PQ// MN$，所以$\frac{4 - m}{m + 2}=\frac{2}{m + 1}$，即$(4 - m)(m + 1)=2(m + 2)$，$4m+4 - m^2 - m = 2m + 4$，$-m^2 + 3m + 4 = 2m + 4$，$-m^2 + m = 0$，$m(1 - m)=0$，解得$m = 0$或$m = 1$。
经检验，当$m = 0$或$m = 1$时，直线$MN$，$PQ$不重合。
综上，$m$的值为$0$或$1$。