《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 1 如图，$ C,D $ 是以 $ AB $ 为直径的半圆圆周上的两个三等分点，$ E $ 为线段 $ CD $ 的中点，$ F $ 为线段 $ BE $ 上靠近点 $ B $ 的一个四等分点。设 $ \overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b} $，则 $ \overrightarrow{AF}= $(C)


A.$ \frac{5}{8}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b} $
B.$ \frac{5}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b} $
C.$ \frac{13}{16}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b} $
D.$ \frac{13}{8}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b} $

答案： C

例 2 已知在 $ \triangle ABC $ 中，$ E $ 为 $ AC $ 的中点，$ D $ 是线段 $ BE $ 上的动点。若 $ \overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC} $，则 $ \frac{2}{x}+\frac{1}{y} $ 的最小值为______。

答案： 因为 $ D $ 是线段 $ BE $ 上的动点，设 $ \overrightarrow{BD} = \lambda \overrightarrow{BE} $（$ 0 ＜ \lambda ＜ 1 $），则：
$ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \lambda \overrightarrow{BE} $。
由于 $ E $ 为 $ AC $ 的中点，所以 $ \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $，故 $ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} $。
代入上式得：
$ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \lambda \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right) = (1 - \lambda)\overrightarrow{AB} + \frac{\lambda}{2}\overrightarrow{AC} $。
又 $ \overrightarrow{AD} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC} $，由平面向量基本定理得：
$ \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = \frac{\lambda}{2} \end{cases} $，消去 $ \lambda $ 得 $ x + 2y = 1 $（$ x ＞ 0, y ＞ 0 $）。
则 $ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = (x + 2y)\left( \frac{2}{x} + \frac{1}{y} \right) = 4 + \frac{4y}{x} + \frac{x}{y} \geq 4 + 2\sqrt{\frac{4y}{x} · \frac{x}{y}} = 8 $，当且仅当 $ \frac{4y}{x} = \frac{x}{y} $，即 $ x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{4} $ 时取等号。
故 $ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} $ 的最小值为 $ 8 $。
答案 $ 8 $