《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

命题“$ \forall x ＞ 0, x ＞ \sqrt{x} $”的否定是(B)

A.$ \forall x ＞ 0, x \leq \sqrt{x} $
B.$ \exists x ＞ 0, x \leq \sqrt{x} $
C.$ \forall x \leq 0, x ＞ \sqrt{x} $
D.$ \exists x ＞ 0, x ＞ \sqrt{x} $

答案： B

母题 1 全称量词命题与存在量词命题及其真假的判断
例 1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假。
(1) 至少有一个整数，既能被 11 整除，又能被 9 整除；
(2) $ \forall x \in \mathbf{R}, x^2 - 4x + 6 ＞ 0 $；
(3) $ \exists x \in \mathbf{N}, x^2 \leq x $；
(4) $ \exists x \in \mathbf{N}^* $，使 $ x $ 为 29 的约数；
(5) $ \forall x \in \mathbf{N}, x^2 ＞ 0 $。

答案：
(1)存在量词命题。真命题，因为$99$既能被$11$整除又能被$9$整除。
(2)全称量词命题。真命题，因为$x^2 - 4x + 6 = (x - 2)^2 + 2 \geq 2 ＞ 0$。
(3)存在量词命题。真命题，当$x = 0$或$x = 1$时，满足$x^2 \leq x$。
(4)存在量词命题。真命题，因为$1$是$29$的约数，且$1 \in \mathbf{N}^*$。
(5)全称量词命题。假命题，当$x = 0$时，$x^2 = 0$，不满足$x^2 ＞ 0$。