《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题3 求函数的解析式
例6 （1）已知 $ f(x) $ 是一次函数，且 $ f(f(x))=4x - 1 $，求 $ f(x) $ 的解析式；
（2）已知二次函数 $ f(x) $ 满足 $ f(0)=1 $，$ f(x + 1)-f(x)=2x $，求 $ f(x) $ 的解析式。

答案： 例6
（1）
设$f(x)=ax + b$，因为$f(f(x)) = 4x-1$，则$a(ax + b)+b=a^{2}x+ab + b=4x - 1$。
可得$\begin{cases}a^{2}=4\\ab + b=-1\end{cases}$，
由$a^{2}=4$得$a = 2$或$a=-2$。
当$a = 2$时，$2b + b=-1$，$3b=-1$，$b=-\frac{1}{3}$；
当$a=-2$时，$-2b + b=-1$，$-b=-1$，$b = 1$。
所以$f(x)=2x-\frac{1}{3}$或$f(x)=-2x + 1$。
（2）
设$f(x)=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，因为$f(0)=1$，所以$c = 1$。
又$f(x + 1)-f(x)=2x$，$a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+1-(ax^{2}+bx + 1)=2x$，
展开得$ax^{2}+2ax+a+bx + b+1 - ax^{2}-bx - 1=2x$，
即$2ax+a + b=2x$，所以$\begin{cases}2a=2\\a + b=0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = 1\\b=-1\end{cases}$，
所以$f(x)=x^{2}-x + 1$。

例7 根据下列条件，求函数 $ f(x) $ 的解析式。
（1）$ f(\sqrt{x}+1)=x + 3\sqrt{x} $；
（2）$ f(x)+2f(-x)=x^{2}+2x $；
（3）已知 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数，$ f(0)=1 $，且对任意的实数 $ x $，$ y $ 都有 $ f(x - y)=f(x)-y(2x - y + 1) $。

答案： 例7
（1）
方法1：
$f(\sqrt{x}+1)=x + 3\sqrt{x}=(\sqrt{x}+1)^{2}+\sqrt{x}+1-2$，$\sqrt{x}+1\geq1$，所以$f(x)=x^{2}+x - 2(x\geq1)$。
方法2：
令$\sqrt{x}+1=t$，则$x=(t - 1)^{2}$，$t\geq1$，$f(t)=(t - 1)^{2}+3(t - 1)=t^{2}+t - 2(t\geq1)$，所以$f(x)=x^{2}+x - 2(x\geq1)$。
（2）
将$x$换成$-x$，得$f(-x)+2f(x)=x^{2}-2x$。
原方程$f(x)+2f(-x)=x^{2}+2x$，联立$\begin{cases}f(x)+2f(-x)=x^{2}+2x\\f(-x)+2f(x)=x^{2}-2x\end{cases}$，
消去$f(-x)$：第一个方程乘以$2$减第二个方程得$3f(x)=x^{2}-6x$，所以$f(x)=\frac{1}{3}x^{2}-2x$。
（3）
方法1：
令$y = x$，则$f(x - y)=f(0)=f(x)-x(2x - x + 1)=1$，即$f(x)-x(x + 1)=1$，所以$f(x)=x^{2}+x + 1$。
方法2：
令$x = 0$，则$f(0 - y)=f(0)-y(-y + 1)$，即$f(-y)=y^{2}-y + 1$，令$x = -y$，则$f(x)=x^{2}+x + 1$。