《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题3L及应用 5年11考
例4(1)(多选)下列函数中,最小正
周期为π的是 (AD)
A.y=|sinx|
B.y=sin|x|
C.y=|cos2x|
D.y=cos|2x|
(2)已知奇函数f(x)满足f(x+$\frac{π}{2}$)=f(x),当x∈(−$\frac{π}{4}$,0)时,f(x)=$\sqrt{3}$cosx,则f(−$\frac{17π}{6}${的值为-\frac{3}{2}.
(3)已知函数f(x)=sin$\frac{π}{2}$x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(20222)+f(20233)=
0.

答案：
(1)
A. $y = |\sin x|$ 的图象如题所示，其最小正周期为 $\pi$，故 A 正确。
B. $y = \sin |x|$ 不是周期函数，故 B 错误。
C. $y = |\cos 2x|$，$g(x + \frac{\pi}{2}) = |\cos(2x + \pi)| = | - \cos 2x| = |\cos 2x| = g(x)$，其最小正周期应为 $\frac{\pi}{2}$ 的约数，实际最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$（通过计算 $g(x + \frac{\pi}{2}) = g(x)$ 得出，但题目要求最小正周期为 $\pi$，故 C 错误（题目要求严格匹配））。
D. $y = \cos |2x| = \cos 2x$，其最小正周期 $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$，故 D 正确。
答案：AD
(2)
由 $f(x + \frac{\pi}{2}) = f(x)$，得 $f(x)$ 的周期为 $\frac{\pi}{2}$。
$f(-\frac{17\pi}{6}) = f(\frac{\pi}{2} × (-6) + \frac{\pi}{6}) = f(\frac{\pi}{6}) = -f(-\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3} \cos(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{3}{2}$。
答案：$-\frac{3}{2}$
(3)
函数 $f(x) = \sin\frac{\pi}{2}x$ 的最小正周期 $T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4$。
$f(1) = \sin\frac{\pi}{2} = 1$，
$f(2) = \sin\pi = 0$，
$f(3) = \sin\frac{3\pi}{2} = -1$，
$f(4) = \sin 2\pi = 0$。
$f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 0$。
又因为 $2023 = 4 × 505 + 3$，所以 $f(1) + f(2) + f(3) + \ldots + f(2022) + f(2023) = 505 × 0 + f(1) + f(2) + f(3) = 0$。
答案：0

母题4k性和对称性 5年5考
例5(1)(多选)已知函数f(x)=
sin(cx十P)(w≠0)为偶函数,则P______
的取值可以为 (ACD)
A.$\frac{π}{2}$ B.π C.−$\frac{3π}{2}$ D.$\frac{2023π}{2}$
(2)已知函数f(x)=sin(2x十p)的图象关于
直线x=$\frac{π}{8}$对称,则的取值可能是(C)
A.$\frac{π}{2}$ B.−$\frac{π}{4}$ C.$\frac{π}{4}$ D.$\frac{3π}{4}$
(3)记函数f(x)=cos(x+)(仞＞0,0＜
＜π)的最小正周期为T.若f(T)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,x=
$\frac{π}{9}$__________________为f(x)的零点，则仞的最小值为
3.→点($\frac{1}{9}$,0)为f(x)图象的对称中心.

答案：
(1)
因为$f(x)=\sin(\omega x + \varphi)(\omega\neq0)$为偶函数，则$f(x)$需满足$f(x)=f(-x)$，对于正弦函数，当$\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$时满足条件。
当$k = 0$时，$\varphi=\frac{\pi}{2}$；当$k=- 2$时，$\varphi=-\frac{3\pi}{2}$；当$k = 1011$时，$\varphi=\frac{\pi}{2}+1011\pi=\frac{2023\pi}{2}$。
所以$\varphi$的取值可以为A、C、D。
(2)
因为函数$f(x)=\sin(2x+\varphi)$的图象关于直线$x = \frac{\pi}{8}$对称，根据正弦函数对称轴性质，有$2×\frac{\pi}{8}+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z$，即$\varphi=k\pi+\frac{\pi}{4},k\in Z$。
当$k = 0$时，$\varphi=\frac{\pi}{4}$，所以答案选C。
(3)
函数$f(x)=\cos(\omega x+\varphi)(\omega\gt0,0\lt\varphi\lt\pi)$，其最小正周期$T = \frac{2\pi}{\omega}$。
$f(T)=f(\frac{2\pi}{\omega})=\cos(2\pi+\varphi)=\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$0\lt\varphi\lt\pi$，所以$\varphi=\frac{\pi}{6}$。
因为$x = \frac{\pi}{9}$为$f(x)$的零点，则$f(\frac{\pi}{9})=\cos(\frac{\pi}{9}\omega+\frac{\pi}{6}) = 0$，即$\frac{\pi}{9}\omega+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$，$\frac{\pi}{9}\omega=\frac{\pi}{3}+k\pi$，$\omega = 3 + 9k,k\in Z$。
又$\omega\gt0$，所以$\omega$的最小值为$3$。
综上，答案依次为：
(1)ACD；
(2)C；
(3)3。