《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 4 已知直线 $ l_1:x + ay - a = 0 $ 和直线 $ l_2:ax - (2a - 3)y + a - 2 = 0 $。
(1)若 $ l_1 \perp l_2 $，求实数 $ a $ 的值；
(2)若 $ l_1 // l_2 $，求实数 $ a $ 的值。

答案：
(1) 对于直线 $ l_1: x + ay - a = 0 $ 与 $ l_2: ax - (2a - 3)y + a - 2 = 0 $，若 $ l_1 \perp l_2 $，则 $ A_1A_2 + B_1B_2 = 0 $。其中 $ A_1 = 1, B_1 = a, A_2 = a, B_2 = -(2a - 3) $，代入得：
$1 · a + a · [-(2a - 3)] = 0$
化简得 $ a - a(2a - 3) = 0 $，即 $ 4a - 2a^2 = 0 $，解得 $ a = 0 $ 或 $ a = 2 $。
(2) 若 $ l_1 // l_2 $，则 $ A_1B_2 = A_2B_1 $，即：
$1 · [-(2a - 3)] = a · a$
化简得 $ -2a + 3 = a^2 $，即 $ a^2 + 2a - 3 = 0 $，解得 $ a = -3 $ 或 $ a = 1 $。
当 $ a = -3 $ 时，$ l_1: x - 3y + 3 = 0 $，$ l_2: 3x - 9y + 5 = 0 $，两直线平行；
当 $ a = 1 $ 时，$ l_1: x + y - 1 = 0 $，$ l_2: x + y - 1 = 0 $，两直线重合，舍去。
综上，$ a = -3 $。
(1) $ a = 0 $ 或 $ a = 2 $；
(2) $ a = -3 $。