《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 6 对勾函数模型的应用
例 7 (多选)某公司一年购买某种货物 800 吨，现分次购买，设每次购买 x 吨，运费为 8 万元/次。已知一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和 y(万元)最小，则下列说法正确的是(AC)

A.当$x = 40$时，y 取得最小值
B.当$x = 45$时，y 取得最小值
C.$y_{\min}=320$
D.$y_{\min}=360$

答案： AC

例 8 为了改善农村卫生环境，振兴乡村，加快新农村建设，某地政府出台了一系列惠民政策。某村民为了响应政府号召，变废为宝，准备建造一个长方体形状的沼气池，以秸秆、人畜肥等为沼气原料，用沼气解决日常生活中的燃料问题。已知沼气池的体积为$18m^{3}$，深度为 3 m，池底的造价为每平方米 180 元，池壁的造价为每平方米 150 元，池盖的总造价为 2000 元。设沼气池底面长方形的一边长为 x m，但由于受场地的限制，x 不能超过 2。
(1)求沼气池的总造价 y 关于 x 的函数解析式，并指出函数的定义域。
(2)怎样设计沼气池底面长方形的尺寸，才可以使沼气池的总造价最低？并求出最低造价。

答案：
(1)由题意，沼气池深度为3m，体积为18m³，故底面积为$18÷3 = 6\space m^2$。底面长方形一边长为$x\space m$，则另一边长为$\frac{6}{x}\space m$。
池底造价：$6×180 = 1080$元；
池壁面积：$2×(3x + 3×\frac{6}{x}) = 6(x + \frac{6}{x})\space m^2$，池壁造价：$6(x + \frac{6}{x})×150 = 900(x + \frac{6}{x})$元；
池盖造价2000元。
总造价$y = 1080 + 900(x + \frac{6}{x}) + 2000 = 3080 + 900(x + \frac{6}{x})$，定义域为$0 ＜ x \leq 2$。
(2)设$f(x) = x + \frac{6}{x}(0 ＜ x \leq 2)$，任取$0 ＜ x_1 ＜ x_2 \leq 2$，则$f(x_1)-f(x_2)=(x_1 - x_2) + (\frac{6}{x_1}-\frac{6}{x_2})=(x_1 - x_2) + \frac{6(x_2 - x_1)}{x_1x_2}=(x_1 - x_2)\frac{x_1x_2 - 6}{x_1x_2}$。
因为$x_1 - x_2 ＜ 0$，$x_1x_2 ＞ 0$，$x_1x_2 ＜ 2×2 = 4 ＜ 6$，所以$x_1x_2 - 6 ＜ 0$，则$f(x_1)-f(x_2) ＞ 0$，即$f(x)$在$(0,2$单调递减。
当$x = 2$时，$f(x)$最小，此时另一边长为$\frac{6}{2}=3\space m$，总造价$y = 3080 + 900×(2 + 3)= 3080 + 4500 = 7580$元。
答：当底面长方形一边长为2m，另一边长为3m时，总造价最低，最低造价为7580元。